В период с 10 марта по 06 апреля 2022 года для обучающихся школы будет проводиться урок по теме “Квантовый мир: как устроен квантовый компьютер”, организованный в рамках реализации Всероссийского образовательного проекта “Урок Цифры”.
Этот “Урок цифры” расскажет о квантовой физике. Чем она интересна и почему отличается от классической физики? Зачем создавать квантовый компьютер? Как он работает и какую пользу принесет человеку? Какие профессии появятся в будущем благодаря развитию квантовых технологий? В этом уроке вы узнаете ответы на эти вопросы для себя и учеников.
https://урокцифры.рф/
Искусственный интеллект в стартапах
Познакомься с разными технологиями искусственного интеллекта, узнай, какие задачи они решают и попробуй себя в роли предпринимателя!
Видеотехнологии
Материалы будут доступны ближе к дате запуска
Искусственный интеллект и метеорология
Материалы будут доступны ближе к дате запуска
Анализ в бизнесе и программной разработке
Материалы будут доступны ближе к дате запуска
Что прячется в смартфоне: исследуем мобильные угрозы
Материалы будут доступны ближе к дате запуска
Квантовые алгоритмы
Материалы будут доступны ближе к дате запуска
Быстрая разработка приложений
Квантовый мир: как устроен квантовый компьютер
Цифровое искусство: музыка и IT
Исследование кибератак
Разработка игр
Искусственный интеллект в образовании
Алгоритмы. Код. Команда
Прохождений:
5 878 203
Прохождений 2021/2022
- 1
- 4
- 8
- 9
- 2
- 0
- 0
- 0
Всего прохождений — …
Прохождений в сезоне 2020/2021 — 10 890 000
«1С:Урок»
Библиотека электронных учебных материалов для учителей и школьников на портале «1С:Урок». Тысячи интерактивных заданий, лабораторных работ и демонстрационных материалов для начальной и средней школы. А также интерактивная онлайн-среда «Математический конструктор» для создания живых чертежей прямо на занятиях.
VK
VK развивает экосистему сервисов, которые помогают миллионам людей решать повседневные задачи онлайн
Яндекс
Яндекс — интернет-компания, которая развивает самую популярную в России поисковую систему и интернет-портал. У Яндекса есть сервисы для решения самых разных задач: с их помощью люди ищут информацию в интернете, слушают музыку, выбирают товары и услуги, учатся и делают многое другое. В основе сервисов Яндекса лежат сложные трудновоспроизводимые технологии, которые создаёт команда талантливых математиков и программистов.
Портал «Безопасность детей в сети»
«Лаборатория Касперского» рассказывает детям, с какими угрозами они могут столкнуться в сети и как избежать неприятностей, а родители узнают, как помочь ребятам осваивать цифровой мир безопасно. Для учителей на сайте доступны методические материалы для школьных уроков по информационной безопасности.
Академия искусственного интеллекта для школьников
Проект Сбербанка и БФ Сбербанка «Вклад в будущее», нацеленный на формирование у школьников интереса к технологиям искусственного интеллекта и развитие навыков программирования.
Квантовые технологии Росатом
Государственная корпорация по атомной энергии «Росатом» – многопрофильный холдинг, объединяющий активы в энергетике, машиностроении, строительстве.
Отзывы участников
`
Михаил Мишустин, Председатель Правительства Российской Федерации
Президент определил цифровую трансформацию в качестве одной из национальных целей развития. И сегодня мы активно внедряем во все сферы жизни самые современные решения, чтобы они служили на благо людей. Чтобы школьники уже сейчас могли получать навыки в области информационных технологий, в четвертый раз реализуется важный проект — «Урок Цифры». За время его существования ребята по всей стране получили возможность узнать больше об искусственном интеллекте, о кибербезопасности, о цифровом производстве, о беспилотниках.
Пройди тренажер —
получи сертификат!
Отзывы партнеров
Сергей Кравцов
Министр просвещения Российской Федерации
Читать отзыв полностью
Михаил Мишустин
Председатель Правительства Российской Федерации
Читать отзыв полностью
Михаил Прибочий
Управляющий директор «Лаборатории Касперского» в России и странах СНГ
Читать отзыв полностью
Максут Шадаев
Министр цифрового развития Российской Федерации
Читать отзыв полностью
Евгений Ковнир
Генеральный директор АНО «Цифровая экономика»
Читать отзыв полностью
Андрей Лобанов
СЕО Международной школы программирования для детей “Алгоритмика”
Читать отзыв полностью
Александр Ведяхин
Первый заместитель Председателя Правления Сбербанка
Читать отзыв полностью
Борис Нуралиев
Директор фирмы «1С»
Читать отзыв полностью
Елена Бунина
Генеральный директор Яндекса
Читать отзыв полностью
Владимир Габриелян
Первый заместитель генерального директора VK
Читать отзыв полностью
С 10 марта начнутся очередные «Уроки цифры», на которых школьники смогут узнать ответы на основные вопросы о квантовой физике.
Всероссийский «Урок цифры» на тему «Квантовый мир: как устроен квантовый компьютер» пройдет с 10 марта по 10 апреля. Школьники познакомятся на нем с основными понятиями квантовой физики и узнают, чем она отличается от классической физики.
В помощь учителю разработаны методические рекомендации, которые позволяют построить урок наиболее эффективным способом – представить исследуемую тему в доступной форме (фильм, презентации) и проверить полученные знания с помощью игрового формата – тренажеров. Также предусмотрены инструкции для альтернативных форматов проведения урока – без интернета или онлайн. Педагог может воспользоваться опорными конспектами, составленными для учеников разных классов.
На уроках школьники будут изучать теорию, закреплять полученные знания и разбираться, какие задачи стоят перед квантовой физикой.
Учебные материалы для урока, разработанные ведущими учеными и специалистами Госкорпорации «Росатом» и Российского квантового центра, помогут ученикам не только узнать о передовых научных разработках в сфере квантовых технологий, но и сориентироваться в профессиях будущего и способах построения профессиональной карьеры в квантовой сфере, сообщается на сайте проекта.
Предыдущий «Урок цифры» был посвящен музыке в ИТ. На занятиях школьники вместе с учителем или самостоятельно искали ответы на такие вопросы, как: способен ли искусственный интеллект сочинять музыку, как работают современные музыкальные сервисы, как алгоритмы рекомендуют треки, может ли компьютер понимать музыку.
Ранее сетевое издание «Учительская газета» сообщало, что почти 3 млн школьников, учителей и родителей из более чем 130 стран приняли участие в «Уроке цифры», посвященном разработке компьютерных игр и профессиям, которые востребованы в этом процессе.
«Урок цифры» — это всероссийский образовательный проект, позволяющий учащимся получать знания от ведущих технологических компаний и развивать навыки и компетенции цифровой экономики. Инициаторами проекта выступили Министерство просвещения, Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций РФ и АНО «Цифровая экономика».
Во всероссийской обучающей программе «Урок цифры» 2021-2022 стартовал третий обучающий урок сезона. В этот раз ребята будут изучать тему «Исследование кибератак».
- «Урок цифры-2022» по кибербезопасности
- Где найти ответы к «Уроку цифры 2022» по теме кибербезопасности
«Урок цифры-2022» по кибербезопасности
«С 17 января по 6 февраля 2022 года попробуй себя в роли кибердетектива, который помогает исследовать необычный киберинцидент. Узнай, как необновленное программное обеспечение и невнимательность к письмам в электронной почте становятся лазейкой для хакерской атаки. К сегодняшнему дню уже более 376 тысяч прохождений. Пора и тебе присоединится и испытать свои силы».
«Урок цифры» предлагает погрузиться в увлекательную визуальную новеллу-комикс, сюжет которой строится вокруг исследования кибератаки, совершенной на банк. Сюжет истории основан на реальных событиях, которые происходили в разных странах мира. Главный герой — кибердетектив Мидори Кума помогает исследовать случившийся инцидент. Попутно он рассказывает про работу специалистов по информационной безопасности, учит отличать фишинговые письма от обычных, объясняет, почему важно обновлять программное обеспечение.
Где найти ответы к «Уроку цифры 2022» по теме кибербезопасности
Всероссийские интерактивные уроки представляют собой комикс, сюжет которого строится вокруг исследования кибератаки в финансовом секторе. С помощью специальных тренажёров, разработанных вместе с экспертами «Лаборатории Касперского», российские школьники познакомятся с некоторыми терминами из области информационной безопасности, узнают о том, какой ущерб могут нанести вредоносные программы, почему необходимо обновлять операционную систему и приложения, научатся распознавать фишинговые письма. Задания различаются для учеников младших, средних и старших классов. Подробности доступны на сайте https://урокцифры.рф
Многие родители задаются вопросом: зачем это моему ребенку, и когда можно узнать ответы? Основная идея и цель урока заключаются в формировании у ребенка представлений о мире киберугроз, масштабе наносимого ими ущерба отдельным пользователям, компаниям и целым странам. А также показывает, как специалисты по информационной безопасности помогают исследовать такие кибератаки.
Урок выполняет просветительскую задачу, способствует развитию цифровых навыков и помогает раннему профессиональному самоопределению ребенка. Кроме того, школьник познакомится с некоторыми правилами цифровой безопасности, которые сможет применить в жизни.
Урок разработан для школьников 1–11 классов. Родители могут помочь своему ребенку в прохождении урока в домашних условиях. Создатели разработали рекомендации родителям для самостоятельного прохождения урока.
После выполнения заданий тренажера ваш ребенок может получить сертификат о прохождении урока!
Давным-давно в далекой галактикеПравить
Достаточно естественно появилось и сформулированное выше понятие простого числа. Полезность результатов, полученных древними греками, сложно переоценить.
Сколько?Править
Открывши «Начала» Евклида, в 9-й книге, предложении номер 20, анон может невозбранно ознакомиться с доказательством того, что простых чисел бесконечно много.
Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор. Противоречие.
Сложно сказать, кто придумал это доказательство первым, да не так уж это и важно. Надо только отметить, что уже древние греки задались и другими вопросами, связанными с простыми числами.
К слову, возникает естественное предположение, что число, полученное нами в доказательстве бесконечности множества простых чисел — само простое. Увы, но это не всегда так. Простая калькуляция показывает, что уже число 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 + 1 будет составным. Более того, неизвестно, бесконечно ли много простых чисел такого вида. Та же самая ситуация и с числами, которые получаются вычитанием единицы из последовательного произведения простых чисел.
Основная теорема арифметикиПравить
Что же сподвигло греков изучать простые числа? Дело в том, что любое натуральное число, большее единицы, может быть разложено, причём единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей и единицы), в произведение простых чисел.
Четкая формулировка этой теоремы справедливости ради впервые встречается у Гаусса, но, судя по тексту всё тех же «Начал», греки это утверждение интуитивно понимали.
В известном смысле именно из этой теоремы растут ноги почти всей дискретной математики и, конечно, криптографии.
Эта теорема породила, кстати, достаточно забавную дисциплину математической спецолимпиады, а именно, считать единицу составным или простым числом? Ну, в самом деле, если единица — простое число, то разложение на простые множители неединственно, так как 1 ⋅ 1 = 1. А если единица не простое число, то вроде как составное, но это уж какой-то бред, потому что она делится нацело только на единицу и себя. Поэтому у многих авторов получается костыль: множество натуральных чисел разбивается на простые числа, составные и единицу. Ну, а некоторые причисляют-таки единицу к простым числам и запиливают соответствующий костыль в формулировку основной теоремы арифметики. Nuff said.
Решето ЭратосфенаПравить
Следующий вполне логичный и важный вопрос о поиске простых чисел был изучен, по всей видимости, в Александрийской библиотеке Эратосфеном Киренским.
Решето Эратосфена можно изобразить, например, так
Кстати, Эратосфен много чем ещё отметился. В частности, он первым вычислил радиус Земли. Причём достаточно точно, хоть и непонятно, сколько именно он насчитал, так как считал он в древнегреческих единицах длины, а они несколько различались в зависимости от местности и времени. Однако, исходя из того, что известно, ошибка Эратосфена была достаточно невелика.
Классическая эпохаПравить
После заката эпохи античности наступили времена высокой духовности и религиозности, также известные как тёмные века. Никаких особо интересных достижений, связанных с простыми числами, в те времена не зафиксировано, так что мы сразу перенесёмся на полторы тысячи лет вперёд, в конец XVI века. Многие вопросы, зачастую не имеющие ответов и поныне, были заданы именно тогда. В целом направлений для размышлений было два. Первое — нельзя ли придумать какую-нибудь формулу, которая задавала бы исключительно (и лучше бы все) простые числа. Второе — как они распределены среди натуральных, так как довольно быстро стало понятно, что это распределение не совсем случайно. Многое за 500 лет человечество узнало, но далеко не всё. Вот краткое описание основных достижений.
Марен МерсеннПравить
Марен Мерсенн смотрит на тебя как на последовательность A000668
Монах-католик и кратер на Луне: математик, писатель писем латынью Паскалю, Ферма и другим видным учёным тех времён, однокашник и дружок Декарта, изучатель телескопов, колебания струн и, что для нас наиболее актуально, изобретатель так называемых чисел Мерсенна.
Надо отметить, что Мерсенн был в своём роде первым сам себе научным журналом. Дело в том, что в те времена учёные, сидящие в разных странах, практически не общались друг с другом. А вот Мерсенн сидел у себя в келье и регулярно строчил письма своим знакомым, среди которых были лучшие умы тех времён. В этих письмах он не только высказывал своё ИМХО относительно погоды, но и делился информацией о том, кто, что и как изобрёл и открыл, осуществляя тем самым в одно лицо функцию научной коммуникации, которую теперь выполняют журналы. Тех писем он настрочил аж на 17 томов. Чтобы был понятен масштаб, почти всё, что мы знаем о работах, например, Ферма, мы знаем из его переписки с Мерсенном.
Среди научных результатов в рамках данной статьи нас интересует одна гипотеза, выдвинутая Мареном, а именно: он предположил, что числа вида 2n − 1, как правило, являются простыми. Из не вполне ясных соображений Мерсенн мамой клялся, что при n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 соответствующие числа Мерсенна будут простыми, а все остальные числа Мерсенна до n = 257 совершенно точно будут составными. Впрочем, выяснилось, что инфометр у святого отца барахлил. Некоторые из не включенных в этот список чисел оказались простыми, а некоторые включенные — составными. Фейл? Не совсем. Гипотеза Мерсенна оказалась крайне продуктивной, именно последовательность из его чисел по сей день исправно поставляет самые большие простые числа. Недавно очередной рекорд был поставлен Кёртисом Купером, выяснившим, что число Мерсенна для n, равного 74 207 281, является простым.
Впрочем, до сих пор неизвестно, бесконечно ли множество простых чисел Мерсенна. Может, ты, анон, найдёшь ответ?
Иван Михеевич Первушин недоволен твоими познаниями в математике и слове б-жьем
Иронично, что одним из тех, кто насрал в компот Мерсенну, был простой русский священник Иван Михеевич Первушин, который выяснил, что при n = 61 число Мерсенна таки простое, хоть и не было включено в изначальный список. Кроме шуток, Иван Михеевич сделал серьёзную работу и неспроста был избран в Петербургскую и Неаполитанскую академии. А 61-е число Мерсенна ныне известно как число Первушина.
Пьер ФермаПравить
А что ты сделал для поиска простых чисел в последовательности A000215?
Мало какой научпоп может обойтись без упоминания Пьера де Ферма, юриста из Тулузы. Про самый эпичный математический срач, связанный с Ферма, уже написано на Уютненьком. Нас же интересует другая гипотеза великого дилетанта.
Гипотеза была в следующем: среди чисел вида 22n + 1 бесконечно много простых. Увы, но до сих пор неизвестно ни одного простого числа Ферма начиная с n = 5. Причём, чтобы получить ответ уже для n = 5, потребовалось применить целого Леонарда Эйлера. Среди прочего на этой же ниве отметился и уже упомянутый Первушин, который доказал, что не являются простыми несколько чисел Ферма. За сие сельский священник был поощрён: «Академия наук в поощрение трудов П. исхлопотала у святейшего синода высылки ему математических книг на 190 руб»!
Остается только подчеркнуть, что поиск простых чисел Ферма до сих пор не привёл ни к каким определённым результатам. Так что современное состояние этого вопроса состоит в писькомере на тему, у кого круче комп, а значит, кто может проверить на простоту самое большое число. На данный момент (результат 2014 года) самое большое точно составное число Ферма при n = 3 329 780.
Многочлены и простые числаПравить
Вообще, сказанное выше демонстрирует одно из самых популярных направлений мысли XVIII—XIX веков. Это идея описания всего и вся при помощи формул. Математики понимали, что простые числа распределены не совсем случайно, а значит, их наверняка можно описать каким-то разумным способом. Наиболее логичным было предположение о том, что какой-нибудь не слишком сложный многочлен (или другое выражение такого же сорта) при подстановке разных чисел будет давать исключительно простые числа. Может быть, не все, может быть, не по порядку, но зато исключительно простые. Именно эту идею и пытались реализовать Ферма и Мерсенн.
Разумеется, и по сей день известно про формулы для простых чисел далеко не всё. Так, неизвестно, какая наименьшая степень для многочлена, «перечисляющего» простые числа, не ясно также, и каково минимальное необходимое число переменных.
Отметим напоследок, что, несмотря на очень высокую теоретическую ценность, практическая польза таких формул, увы, невелика.
Проблема ГольдбахаПравить
Кристиан Гольдбах смотрит на тебя как на нечётное число
Леонард Эйлер посмотрел бы на тебя как на говно, но на этом портрете он уже слеп
Шнирельман невысокого мнения о тебе
Иван Матвеич как бы интересуется, не жидо́к ли ты
Харальд Хельфгот недоволен этой статьей
Возьмем два множества натуральных чисел A и B и всевозможные попарные суммы A + B из этих множеств. Насколько большое множество мы получим? Несложно привести примеры, когда будет получено множество всех натуральных чисел (значит, множества достаточно жирные) и когда нет (множества мелковаты или неудачно распределены). Именно с этой конструкцией связана самая знаменитая, оставшаяся неразрешенной до сих пор проблема теории чисел, то есть проблема Гольдбаха.
В переписке Кристиана Гольдбаха (тогда ещё работавшего в рiдном Кенигсбергском университете, а в будущем перебравшегося на работу в Министерство иностранных дел той ещё Российской Империи) с Эйлером (также перебравшегося в Петербург на ПМЖ) было высказано две гипотезы: тернарная проблема Гольдбаха о том, что любое нечётное число может быть представлено в виде суммы не более чем трёх простых чисел, а также бинарная проблема, гласящая, что любое чётное число может быть представлено в виде суммы двух простых чисел.
Довольно долго никаких значимых продвижений в решении обеих проблем Гольдбаха не наблюдалось, пока наконец на проблему не набижали советские математики. Сначала в 1930 году Шнирельман доказал, что для некоторой константы k любое натуральное число может быть представлено в виде суммы не более чем k простых. После доработки напильником эта константа была доведена до 67. Fail? Как бы не так. Этот результат вселил уверенность, что проблема Гольдбаха в принципе разрешима.
В результате тернарную проблему окончательно доковырял несколько иным методом перуанец Хельфготт в 2013 году.
Многие из результатов, полученных в ходе доказательства, позволяют сделать определенные выводы и в отношении бинарной проблемы, но окончательно она до сих пор не сделана. Sad but true.
Распределение простых чиселПравить
Красная линия — та самая асимптотика
Ещё одно направление размышлений о простых числах такое. С одной стороны, среди натуральных чисел бывают сколь угодно длинные промежутки, на которых нет ни одного простого числа (это задача для 7-го класса). С другой стороны, иногда простые числа бывают очень близко друг к другу. Нет ли какого-нибудь способа узнать, насколько часто встречаются простые числа?
Проблема близнецовПравить
Если начать изучать последовательность простых чисел, то видно, что иногда (и не так уж и редко) попадаются простые числа, между которыми расстояние равно двум, например 11 и 13, 17 и 19. Такие числа называются близнецами. Самые большие найденные на данный момент близняшки — это 2 996 863 034 895 ⋅ 21 290 000 ± 1.
Печаль в том, что по сей день неизвестно, конечно ли множество пар близнецов. Хочется верить, что нет. Самый сильный результат по этому поводу принадлежит одному китайцу (подробности тут). Вкратце доказано, что существует бесконечно много пар простых чисел, расстояние между которыми не превышает всего лишь 70 миллионов. Уже через месяц после опубликования эта оценка была снижена с 70 миллионов более, чем на порядок – до 4 982 086, а через год (в апреле 2014) ее удалось свести к значению 246.
Впрочем, как и в случае с упомянутой выше работой Шнирельмана, посвященной проблеме Гольдьбаха, даже такая, мягко говоря, грубая оценка — это уже хорошо. Внушает оптимизм, что окончательный ответ и в этой проблеме будет получен в обозримом будущем.
Постулат БертранаПравить
Достаточно быстро (ещё Эйлеру) стало понятно, что простые числа распределены не так уж и редко. Так что, если отвлечься от близнецов и совсем уж «соседних» простых чисел, сосредоточившись на их распределении в среднем, станет ясно, что какой-то ответ рано или поздно появится.
Самый первый результат от дедушки Эйлера состоял в том, что количество простых чисел среди натуральных растёт медленнее, чем линейная функция.
Пафнутий Львович смотрит на тебя как-то недовольно, свирепо и в то же время грустно и с недоумением
Вскоре возникла гипотеза, высказанная Бертраном, о том, что между числами n и 2n есть хотя бы одно простое. Доказал это утверждение Пафнутий Львович Чебышёв (кстати, первый научный руководитель этой вашей Софьи Ковалевской). Интересно отметить, что самое простое доказательство этой теоремы ещё лет через 50 придумал Эрдёш.
Вообще, в классической теории чисел шаг вправо, шаг влево — нерешенная проблема. Вот и с постулатом Бертрана та же хуйня. Неизвестно до сих пор, верно ли, что между любыми двумя соседними квадратами чисел — n2 и (n + 1)2 — есть хотя бы одно простое число (гипотеза Лежандра).
РаспределениеПравить
Как уже было сказано, Эйлер доказал, что количество простых чисел π(n), не превышающих n, растёт медленнее, чем линейная функция. Так что довольно быстро математики стали подозревать, что где-то тут зарыт логарифм. Первым заподозрил что-то такое Гаусс, потом Лежандр и Вега.
Однако точно сформулировал гипотезу и почти (установил очень и очень узкий коридор, в котором может быть колебание) доказал Пафнутий наш Львович Чебышёв. Гипотеза была, что π(x) ≈ x/ln(x). Чуть позже Риман связал эту самую функцию со своей дзета-функцией (о которой пара слов будет сказана ниже), и, наконец, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен окончательно доказывают теорему о распределении простых чисел.
Таким образом, глобальные свойства распределения простых чисел были окончательно получены. Впрочем, масса вопросов о подробностях того, как они распределены, до сей поры осталась без ответа. В том числе и проблема близнецов, проблема Лежандра и многое другое.
Гипотеза РиманаПравить
Первое равенство — это определение дзета-функции Римана, а второе равенство — утверждение, доказанное Эйлером
Тесно связана с распределением простых чисел и такая очень известная математическая конструкция, как дзета-функция Римана, которую в своё время придумал Эйлер и активно изучал Чебышёв. За определением этой функции и её свойствами марш в Вику. Мы же отметим, что тот, кто докажет, что все нетривиальные нули этой функции имеют действительную часть, равную 0,5, будет ба-а-альшой молодец. И даже получит лям баксов от института Клея за решение проблемы тысячелетия.
А разгадка проста: распределение нетривиальных нулей дзета-функции связано с распределением простых чисел. Кроме того, на гипотезе Римана основано некоторое количество (используемых) методов в криптографии. Подробнее про эти связи можно почитать тут.
Наши дниПравить
Всё, о чем мы толковали выше, это пусть и почтенные задачи, но пик интереса к ним остался в прошлом. Дело в том, что, если (когда?) будет доказана бинарная проблема Гольдбаха, это не приблизит человечество к алгоритму представления числа в виде суммы двух простых. То же можно сказать и о других задачах. Знание тонкостей распределения простых чисел интересно и важно с теоретической точки зрения, но едва ли даст нам что-то по-настоящему новое. Передний фронт современных математических интересов ушёл далеко (и ты, дорогой читатель, даже не представляешь себе, НАСКОЛЬКО), а равно и фронт интересов практических, также известных как прикладная математика. Однако интерес к простым числам отнюдь не праздный.
Дело в том, что очень многие криптографические алгоритмы основаны, очень грубо говоря, на том, что если есть очень большое число, которое является произведением двух очень больших простых чисел, то найти это разложение, не зная одного из сомножителей, очень трудно. Поэтому знание очень больших (действительно ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ) простых чисел необходимо, чтобы обеспечивать криптостойкость.
Второй очень важный сюжет, тесно связанный с первым, это поиски быстрых алгоритмов проверки числа на простоту. Ну в самом деле, если последняя цифра числа в десятичной записи — чётная, то число заведомо составное. Также легко и быстро проверить, что число кратно трём и т. д. Но есть ли способ проверить, составное ли число, не перебирая все возможные простые сомножители? Над этим вопросом бьются и многое придумали. Например, вероятностный тест, да и много чего ещё. Вот навскидку ещё один тест.
Причина таких специфических интересов проста. Дело в том, что в основе многих криптографических алгоритмов (в частности, цифровой подписи) лежит простая идея. Если есть очень большое число, являющееся произведением двух очень больших простых чисел, то не зная, как это число раскладывается на сомножители, найти такое разложение очень сложно (то есть займёт очень большое время). Зато зная один из сомножителей (если упростить до предела, то это как раз ключ шифра), то очень легко (то есть быстро) и найти второй сомножитель, и проверить, что исходное число делится на это число. Конечно, в реальных алгоритмах всё несколько сложнее, но в конечном счёте всё упирается в то, что дешифровка если и возможна, то за очень продолжительное время.
Мир развивается, и старые, классические задачи отправляются туда же, куда и перфокарты. Нечто похожее происходит и с криптографией. Нынче в моде кодирование при помощи эллиптических кривых и тому подобные штучки. В будущем, наверное, в массы придут квантовые компьютеры и иные вундервафли, про которые мы пока ничего не знаем.
Новые технологии приведут и к новым вопросам, будут среди них, наверное, и вопросы о простых числах. Но вряд ли они заинтересуют тебя.
Сложновато?Править
Многих удивляет (и уже давно) та удивительная сложность всех вопросов, связанных с простыми числами. Чтобы доказать даже самые простые и давно известные утверждения, требуются определенные усилия. Почти любой вопрос, который можно задать про простые числа, будет либо тривиальным, либо пиздец каким сложным. Отчего же так?
Разумная версия состоит в том, что простые (да и вообще натуральные) числа — очень не геометричный объект. То есть если бы была какая-то их разумная геометрическая интерпретация, более разумная, чем нули дзета-функции, то и решались бы соответствующие задачи гораздо проще. Неспроста многие задачи теории чисел решаются последние лет 70 такими далёкими, на первый взгляд, от теории чисел инструментами, как комплексный анализ, алгебраическая геометрия и прочий зубодробительный матан, в котором разве что Перельман разберётся.
Второй адекватный, но более философский взгляд состоит в том, что простые числа являются антропоморфным объектом, а не естественным. Вот поверхности, многие алгебраические структуры и тому подобное — это естественные объекты, потому что про них «простые» вопросы действительно, как правило, просты. В отличие от простых чисел. Сон разума рождает чудовищ, одним словом.
И наконец, последнее, что можно сказать о сложности теории чисел, это криптография. Во многом большая часть современных теоретико-числовых задач, в том числе и связанных с простотой, упирается в вычислительные мощности и оптимизацию тех или иных алгоритмов. Но увы, мощь компьютеров не бесконечна, а в оптимизации любых алгоритмов есть предел. И как это ни прискорбно, но решение многих теоретико-числовых задач уже давно упирается именно в вычислительные мощности (так было до недавнего времени с тернарной проблемой Гольдбаха, пока не был найден «обходной путь», так сейчас дела обстоят и с бинарной проблемой Гольдбаха).
Так что, дорогой читатель, никто не помешает тебе поломать голову над какой-нибудь теоретико-числовой задачей, но, если ты хочешь всерьёз заняться математикой и решить какую-нибудь крутую задачу, придётся работать и работать. Тебя ждут боль и страдание. Но, быть может, тебе повезёт! Попробуй!
Что почитать по темеПравить
ПримечанияПравить
- Более простым языком для школьников, прокуривших уроки математики в туалете: простыми называются числа, которые можно разделить без остатка (это важно) только на единицу и на самих себя. Допустим, 5 делится лишь на 5 (получаем 1) и на 1 (получаем 5). А вот девятку, помимо самой себя и единицы, можно безо всяких дробей в ответе поделить ещё и на тройку. Такие дела.
- Потому что всем похуй на арабов^Wегиптян и папирус Ахмеса, конечно же.
Что реально с ними сейчас происходит в мире и в России
Квантовый процессор Google на базе массива из 54 кубитов.
Квантовые технологии стали своеобразным технологическим Святым Граалем. Все крупнейшие государства и компании вкладывают огромные деньги в разработку, но никто толком не понимает, как в финале будет выглядеть инфраструктура квантовых вычислений и что это даст. Текущая ситуация очень сильно напоминает историю с управляемым термоядерным синтезом, когда полноценный запуск состоится уже вот-вот, но надо немного подождать, пока мы решим новые возникшие проблемы. Часть технологий откровенно сырая, а часть работает уже сейчас.
За последние годы уже несколько раз компании объявили, что достигли квантового превосходства – способности решать задачи, невыполнимые для классических компьютеров. В 2019 году Google опубликовала статью в Nature, заявив о достижении квантового превосходства на массиве из 54 кубитов. 3 декабря 2020 года уже китайские учёные сообщили о достижении квантового превосходства с новым суперкомпьютером Jiuzhang на запутанных фотонах. В этом исследовании за 200 секунд была решена задача, которая на обычных суперкомпьютерах решалась бы более 1,5 миллиардов лет.
При этом все пишут только о количестве кубитов в системе, но это далеко не единственная ключевая характеристика. Есть ещё как минимум две, не менее важные:
- Уровень ошибок – квантовые компьютеры отдают правильный результат вычислений с какой-то долей вероятности.
- Время удержания когерентности – вам не нужен квантовый компьютер на 300 кубитов, который потеряет свою квантовую когерентность раньше, чем вы начнёте вычисления.
Предлагаю пройтись по текущим достижениям в этой области. Посмотрим, почему РЖД стал крупнейшим квантовым оператором в России. А ещё попробуем понять, пора ли уже внедрять шифрование McEliece в TLS и паниковать или можно ещё немного подождать.
Бит против кубита
IBM Q System One – первый коммерчески доступный квантовый компьютер на базе 20-ти кубитов.
Квантовые вычисления очень часто воспринимаются как некая магия, где волшебная коробочка, погружённая в жидкий гелий, может заменить целые суперкомпьютерные кластеры. На самом деле эта технология предполагает огромный рост производительности, но только в ограниченной сфере задач. Условно говоря, вы сможете во много раз быстрее выполнять расчёты по фолдингу белков, нахождению элементов в базах данных, моделированию атмосферы или взлому классических асимметричных шифров вроде RSA. Но вряд ли это вам поможет в выполнении линейных алгоритмов, не предполагающих параллельных вычислений.
Основа любого квантового компьютера – кубит. По сути, это аналог бита в классических системах. Ключевое отличие в том, что бит всегда имеет одно из двух возможных значений – 0 или 1. При этом каждым битом надо манипулировать отдельно. С кубитами всё иначе. У кубита в «рабочем состоянии» до коллапса волновой функции нет определённого значения. Он находится в неопределённом состоянии суперпозиции, принимая все возможные значения одновременно. Кубиты должны быть запутаны между собой и работать как единая система, так как одиночный кубит сам по себе довольно бесполезен.
3 бита классического регистра против 3-х кубитов квантового
При этом квантовый компьютер тем эффективнее, чем больше кубитов одновременно находятся в запутанном состоянии. Почему так происходит?
- Классическая система из n бит может быть описана с помощью n нулей и единиц.
- Квантовая система из n кубитов уже будет содержать 2^n бит информации.
Таким образом, по мере добавления отдельных кубитов в общий запутанный регистр содержащийся объём информации растёт по экспоненте. Считается, что 50 кубитов уже достаточно для получения квантового превосходства, при котором квантовый компьютер сможет решать задачи, невозможные для классических вычислительных систем. При достижении порога в 300 кубитов, число возможных состояний уже становится 2^300, что превышает количество атомов во всей вселенной.
Обычный компьютер выполняет какой-то алгоритм только для одного набора данных. Квантовые элементы могут принимать несколько значений одновременно, что позволяет производить вычисления не на одном наборе данных, а на всех возможных значениях одновременно. По сути, это идеальный вариант параллелизма, лишь бы данные помещались в регистр. Проблема заключается в том, что сложность удержания системы в когерентном состоянии также растёт экспоненциально.
Физические варианты реализации
Как бит может быть представлен во многих физических вариантах реализации, так и кубиты могут сильно отличаться друг от друга по своей природе. На данный момент есть несколько ключевых вариантов:
- Сверхпроводники;
- Ионные ловушки;
- Нейтральные атомы;
- Фотоны.
Технология находится в самом начале развития, поэтому предугадать лидера очень трудно. Сложность удержания системы растёт по экспоненте. Из-за этого какие-то перспективные направления могут давать более простую реализацию на малом количестве кубитов, но почти непреодолимые технологические барьеры на большом. В то же время текущие аутсайдеры могут показать более хорошее масштабирование на больших системах.
Сверхпроводники
Сейчас вперёд вырвались квантовые компьютеры на базе сверхпроводников. Они все требуют сверхнизких температур в районе 0.01 К. Именно на этой технологической базе работают устройства, разработанные в IBM, Google и D-Wave.
Кубиты в этом исполнении представляют из себя обычные электрические цепи, которые работают на базе джозефсоновских контактов – явления протекания тока через слой диэлектрика, разделяющего два сверхпроводника. Отчасти джозефсоновские контакты представляют собой аналог транзисторов в классических системах.
Основная сложность масштабирования систем на базе сверхпроводников в том, что каждый проводник уникален, так как изготавливается искусственно и с определенной погрешностью, свойственной фотолитографии. Это приводит к необходимости сложной коррекции ошибок, уникальной для каждого экземпляра.
Атомы и ионы
Ионы и атомы хороши тем, что они абсолютно идентичны. Каждый кубит абсолютно стандартный. Логические операции на ионах выполняются с меньшей погрешностью, так как заряженные частицы хорошо и чётко взаимодействуют между собой.
Но и тут проблемы начинаются при попытках масштабирования. Каждый ион необходимо поймать в ловушку электрического поля. Пока их немного, всё в порядке. Как только вы сталкиваетесь с задачей выстраивания единого запутанного квантового регистра на сотню ионов, вы получаете почти неразрешимую задачу по удержанию кубитов в сложнейших электрических полях на очень малом расстоянии друг от друга. По мере роста системы сложность только увеличивается.
Кубиты на базе холодных нейтральных атомов обычно подвешивают в глубоком вакууме лазерным излучением. Световые ловушки позволяют удерживать отдельные элементы в строго рассчитанных координатах. Но тут возникает проблема стабильности системы и время удержания когерентности.
Свет
Квантовые вычисления на фотонах сейчас находятся в самом начале пути. Если ионами, холодными атомами и сверхпроводниками вы относительно свободно можете манипулировать, то с фотонами всё иначе. Ими очень сложно управлять. С фотонами не проблема выполнить однокубитные операции. Двухкубитные операции уже намного сложнее, так как их непросто изолировать и заставить обмениваться между собой квантовой информацией. Также есть проблема в ячейках памяти для хранения квантового состояния системы. Точно сохранить и извлечь данные пока проблема.
Проблема разработки и дебага
Есть принципиальный предел, до которого можно рассчитывать на привычные IDE, дебаг и проектирование – это системы на 50 кубитов. Такой объём теоретически реально симулировать на классических компьютерах. Как только вы добавляете дополнительный кубит, сложность симуляции удваивается.
Таким образом, для разработки и отладки алгоритмов на несколько тысяч кубитов вам не хватит обычной рабочей станции и даже суперкомпьютера. Видимо, придётся изобретать что-то вроде IDE с подключением к удалённому квантовому компьютеру. Про классический дебаг придётся забыть.
Проблема ошибок
Квантовые процессоры ближе всего к аналоговым вычислительным машинам. Они имеют фундаментальную погрешность вычислений. Например, вы хотите считать состояние одиночного кубита. Вероятность корректного считывания может составлять в районе 99,4%. Чтобы избежать некорретных вычислений применяют специальные алгоритмы коррекции. Фундаментальная проблема заключается в том, что если у нас вероятность успешного считывания равна 0,994 для одного кубита, то для двух уже 0,994*0,994=0,988. Таким образом, для системы из 50-ти кубитов вероятность успешного считывания/записи всех узлов будет уже 74%. Если вы собрались ломать SHA-256, то вам потребуется уже 256 кубитов. Шансы с первого раза корректно считать каждый узел в такой системе – 21,4%.
Проблема декогеренции
Как я уже писал выше, вам нужно удерживать всю систему в связанном состоянии. Причем чем больше кубитов вы удерживаете, тем это сложнее. Например, в результате броуновского движения или дрейфа отдельных частиц в электрическом поле какой-то кубит может выйти из когеренции. Если такое произойдёт, то вычисления придётся начинать сначала. Поэтому, вы можете создавать системы на 1 000 кубитов, но если алгоритм выполняется медленнее, чем система распадается, то практических результатов вы не получите. Риски декогеренции растут всё по тем же классическим законам комбинаторики.
Области применения
У квантовых технологий есть несколько ключевых областей применения. В первую очередь все вспоминают про текущую криптографию, которая потенциально станет бесполезной после массового внедрения квантовых систем на тысячи кубитов. Но это направление не ограничивается только квантовыми вычислениями. Многие параллельные ветви развития обеспечивают, например, связь, которая защищена от MitM на фундаментальном уровне.
Квантовый брутфорс
Наиболее известные из разработанных алгоритмов для «квантового брутфорса» – это алгоритмы Шора и Гровера. Они позволяют быстро факторизировать числа и подбирать коллизии к хешам, соответственно. На данный момент полусотни кубитов недостаточно, чтобы поставить под угрозу всю современную криптографию, но потенциально может потребоваться переход на постквантовые алгоритмы, которые обеспечат стойкость условного TLS 3.0, даже при наличии у атакующего квантовых вычислительных систем.
Для подбора общего секретного ключа, например, придётся использовать SIDH —аналог протокола Диффи–Хеллмана, основанный на блуждании в суперсингулярном изогенном графе.
Квантовое распределение ключей
Протокол подготовки и измерения
Одно из очень перспективных направлений – протокол квантового распределения ключа. Один из известных протоколов – BB84 – был предложен ещё в 1984 году Чарльзом Беннетом и Жилем Брассаром. Он работает за счёт фундаментального ограничения, наложенного теоремой о запрете клонирования.
Носителями информации являются фотоны в четырёх различных квантовых состояниях. Обычно подразумевается поляризация под углами 0°, 45°, 90°, 135°. С помощью измерения можно различить только два ортогональных состояния:
- Фотон поляризован вертикально или горизонтально (0° или 90°);
- Фотон поляризован диагонально (45° или 135°).
При этом невозможно за одно измерение отличить фото с горизонтальной поляризацией от фотона, с углом поляризации 135°.
Если канал не подслушивается, то Алиса и Боб смогут подобрать общую скоррелированную строку случайных бит, которую можно будет использовать уже в классических схемах симметричной криптографии. Если часть фотонов перехватывает, измеряет и ретранслирует Ева, то в канале начинают расти измеримые ошибки. По оценкам, если ошибки в канале не превышают 11%, то это значит, что у Евы нет достаточного количества данных для получения ключа. Если же измеренный уровень ошибок превышает описанный уровень, то алгоритм подбора ключа начинается сначала.
В 1989 году Беннет и Брассар в Исследовательском центре IBM построили первый работающий прототип этой системы, а уже в 2011 году в Токио прошла демонстрация проекта «Tokyo QKD Network» с безопасной передачей данных на 45 километров по обычному оптоволокну.
В июне этого года запустили квантовую линию связи между Москвой и Санкт-Петербургом протяженностью 700 километров. Проект реализовывает РЖД.
Протоколы, основанные на запутанности
«Мо-цзы» – китайский спутник, который предназначен для передачи квантовой информации
Другой способ связан с запутыванием фотонов и передачей одной части такой пары Алисе, а другой – Бобу. При перехвате происходит коллапс волновой функции, что приводит к невозможности незаметного перехвата данных. Проблема этой технологии в сложности доставки запутанной пары всем участникам, так как никакие ретрансляторы в этом случае невозможны.
Совместный эксперимент Китайской академии наук и Австрийской академии наук позволил поднять квантово-защищённый канал связи между Веной и Пекином. При этом само сообщение передавалось по открытым каналам шифром Вернама, а ключами к расшифровке стали квантовые состояния запутанных фотонов.