какие бывают числа в математике 6 класс

Свойства числовых множеств

Определение 1.26. Пусть X — непустое числовое множество. Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число a, что x

a) для любого элемента x ∈ X . При этом число a называется верхней (нижней) границей множества X . Множество, ограниченное снизу и сверху называют ограниченным.

С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:

a, ∀x ∈ X.

Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение  граниченного множества.

Элемент a из числового множества X называют максимальным (минимальным) элементом в X, если x

В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в

имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.

Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.

. Последнее означает, что x0  не является максимальным элементом множества X. Но x0 — произвольный элемент X , поэтому множество X не имеет максимального элемента.

Замечание. Любое числовое множество, содержащее конечное число элементов, имеет максимальный и минимальный элементы.

Теорема 1.2 (принцип полноты Вейерштрасса). Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то существует число, которое является наименьшей верхней (соответственно, наибольшей нижней) границей этого множества, и это число единственно.

c, ∀x ∈ X , то c ∈ Y . Но c

y, ∀y ∈ Y , значит c — наименьшая верхняя граница множества X , то есть минимальный элемент множества Y. Поэтому он единственен.

Определение 1.29. Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Наименьшую из верхних границ множества X называют точной верхней границей или верхней гранью множества X и обозначают sup X (читают «супремум X») или sup x.

Определение 1.30. Пусть X — непустое ограниченное сверху числовое множество. Число a называют точной верхней границей множества X , если выполнены два условия:

Условия 1-2 являются характеристическими свойствами sup X. Первое означает, что a — верхняя граница множества X , а второе — что любое число b, меньшее чем a, уже не является верхней границей множества X .

С учетом определения 1.29 принцип полноты множества R в смысле Вейер-штрасса формулируется следующим образом:

Теорема 1.3. Непустое ограниченное сверху числовое множество имеет, притом единственную, точную верхнюю границу.

Аналогично вводится понятие точной нижней границы множества.

Пусть X ⊂

, ограничено снизу. Наибольшую из его нижних границ называют точной нижней границей или нижней гранью множества X и обозначают inf X (читают «инфимум X») или

Характеристическими свойствами a = inf X, a ∈

Лемма 1.2. Если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то a = sup X (соответственно a = inf X).

Пусть a = max X . Тогда a ∈ X и x

Следовательно, по определению 1.30 a = sup X.

Так как x

1, ∀x ∈ X , то 1 — верхняя граница множества X . Пусть ε — произвольное положительное число, меньшее 1. Число 1 —

принадлежит множеству X. Поскольку 1-

Неограниченные числовые множества

Определение 1.32. Если непустое числовое множество не является ограниченным сверху (снизу), то его называют неограниченным сверху (снизу). В символьной форме это определение принимает вид:

не ограничено сверху

⇒ ∀a ∈

В случае, если числовое множество X не ограничено сверху считают, что его точная верхняя граница равна +∞.

Если же X не ограничено снизу, то считают, что inf X = -∞.

Из сказанного и теоремы 1.2 вытекает следующий результат.

Теорема 1.4 (существования точных границ). Каждое непустое множество X из

точные верхнюю и нижнюю границы; sup X — число, если X ограничено сверху, sup X = +∞, если X не ограничено сверху; inf X — число, если X ограничено снизу и inf X = -∞, если X не ограничено снизу.

Теорема 1.5. Непустое ограниченное сверху (снизу) подмножество множества Z имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пусть X ⊂ Z, X 6

n0+1. Поскольку между n0 и n0 + 1 нет целых чисел, то ∀m ∈ X m

n0 и, следовательно, n0 = max X .

Теорема 1.6. Бесконечное подмножество натуральных чисел не ограничено сверху.

Пусть X — бесконечное подмножество множества

Теорема 1.7 (принцип Архимеда). Для любого числа a и любого положительного числа b найдется единственное целое число n0 такое, что (n0-1)b

Следствие 2. Для любого положительного числа ε существует натуральное число n такое, что 0

Пусть ε — положительное число. По принципу Архимеда найдется такое n ∈

Теорема 1.8 (о плотности

). Для любых чисел a, b ∈

b, найдется рациональное число r такое, что a

Число b — a положительно. По следствию 2 принципа Архимеда подберем натуральное число n0 такое, что 0

Докажем, что рациональное число m0∕n0 — искомое. Действительно,

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

В случае, когда бесконечное множество равномощно натуральному ряду чисел, оно называется счетным, а если оно не равномощно — несчетным. Другими словами, счетная единица — это совокупность, которую мы можем представить в виде последовательности чисел по порядковым номерам.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Теория множеств — достаточно широкая тема, которая требует глубокого изучения. Она затрагивает начальный курс математики, изучается в среднем звене школьной программы по алгебре. Высшая математика, математический анализ, логика – рассматривают законы, теоремы, аксиомы множеств, на которых основаны фундаментальные знания науки.

https://youtube.com/watch?v=s0As4waawqA%3Ffeature%3Doembed

Натуральные числа

Ещё в далекие доисторические времена человек освоил такую математическую операцию, как счет. Можно было подсчитать количество соплеменников в племени или животных в стае, на которых велась охота. При этом человек ещё не осознавал понятие числа как некое отвлеченное понятие. Анализ языков народов, находящихся на самых низких стадиях развития, показывает, что они в словосочетаниях «три змеи», «три палки», «три камня» используют разные слова для числа 3. Однако со временем человек осознал, что количество предметов можно определять числом, которое не будет зависеть от природы подсчитываемых объектов. Числа, используемые для счета, сегодня называют натуральными числами. Долгое время человечество не знало никаких других чисел.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

В качестве примера можно привести следующие натуральные числа: 1, 8, 10, 1000, 64141 и т.п. Если можно представить, что в каком-то множестве содержится N элементов, то N будет натуральным числом.

Вообще все натуральные числа являются частью так называемого натурального ряда чисел. Начинается этот ряд с единицы, а каждое следующее число больше предыдущего на 1.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Таким образом, можно дать ещё одно определение натуральных чисел – это числа, входящие в натуральный ряд. Традиционно ноль не является натуральным числом, ведь при подсчете предметов счет начинают с единицы. Такой подход используется в большинстве российских источников. Однако стоит отметить, что иногда в зарубежной литературе всё же предпочитают начинать натуральный ряд не с единицы, а с нуля. В этом случае 0 становится натуральным числом. Это деление весьма условно. Для обозначения множества натуральных чисел используется буква N. Очевидно, что натуральных чисел существует бесконечно много, а потому не существует наибольшего натурального числа.

Любые два натуральных числа можно складывать друг с другом и перемножать, при этом в результате будет снова получаться натуральное число. При вычитании может получиться ноль или отрицательное число, а при делении – дробное.

Виды чисел

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N.

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Два числа отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными, например, +1 и -1, +5 и -5. Знак «+» обычно не пишут, но предполагают, что перед числом стоит «+». Такие числа называются положительными. Числа, перед которыми стоит знак «-«, называются отрицательными.

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.

Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J.

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R.

Комплексные числа

Комплексные числа– числа, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде  z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = -1. Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Т. е. множество натуральных чисел входит во множество целых чисел. Множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. Множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. А множество действительных чисел входит во множество комплексных чисел.

Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Иррациональные и действительные числа

Долгое время дробей было достаточно человечеству для любых расчетов. Древние греки полагали, что любое отношение величин, которое может встретиться в реальном мире, будет выражаться какой-нибудь дробью. Однако это не так. Один из учеников Пифагора, Гиппас, пытался найти соотношение между стороной квадрата и его диагональю. В результате он осознал, что такой дроби просто не существует.

Это соотношение равно квадратному корню из 2 (что доказывается в курсе геометрии), которое обозначается как


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

При этом она равна дроби 2/1. Следовательно, b*b = 1 , а a*a = 2. Однако не существует такого натурального числа a, которое при умножении на себя дает 2. Получается противоречие, значит,

нельзя представить в виде дроби. Математики говорят, что

был первым иррациональным числом, открытым человечеством. Его значение примерно равно 1,414213562. Способы его вычисления будут освещены позже. Заметим лишь, что у этого числа нельзя найти периода в его десятичной записи.

Вообще любое иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Это значит, что в числах после запятой не будет никакого периода. Чуть раньше мы уже приводили два примера иррациональных чисел:

Для обозначения множества иррациональных чисел используется буква I.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел, обозначаемое буквой R. Иногда их также называют вещественными числами.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Слово «вещественное» указывает на физический смысл этого понятия. Любой результат измерения какой-либо величины (длины, площади, объема, массы и т. д.) является вещественным числом.

Важно, что на числовой прямой, или координатной оси, каждой точке в соответствие можно поставить действительное число, и наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. В качестве примера показаны числа π и


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Таким образом, можно составить следующую классификацию чисел, используемых в математике:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Все числа, которые встретятся в ходе изучения школьной программы математики и других наук, будут действительными. Однако стоит отметить, что в высшей математике, изучаемой в университете, будут изучаться и более сложные объекты, называемые комплексными числами.

Потренируемся

Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:

  • 110 005;
  • 7 013.

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.

Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.

Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.

Значит, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.

Простые и составные числа

Все натуральные числа можно разбить на три группы:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Единицу традиционно не считают ни простым, ни составным числом. Составным же называют натуральное число, делящееся не только на единицу и себя. Можно дать и другие определения, основанные на количестве делителей у числа. Так, единица имеет ровно 1 делитель. У простого числа всегда ровно 2 делителя, а у составного – 3 и более.

В качестве примера простых чисел можно привести: 2, 3, 5, 7, 31, 101, 163. Примерами составных чисел являются:

  • 4 (делится на 2);
  • 6 (делится на 2 и 3);
  • 8 (делится на 2 и 4);
  • 33 (делится на 3 и 11)
  • 50 (делится на 2, 5, 10, 25).

Среди делителей составного числа могут быть как другие составные, так и простые числа. Например, 50 имеет простые делители 2 и 5 и составные 10 и 25.

Заметим, что если число n делится на m, а m в свою очередь делится на k, то и n делится на k. Так, 45 делится на 9, а 9 делится на 3. Значит, и 45 делится на 3. Из этого свойства чисел вытекает следующее утверждение:

Любое составное число имеет хотя бы один простой делитель, причем им обязательно будет наименьший из всех делителей числа. Докажем это. Пусть число H – составное, и имеет наименьший делитель F. Предположим, что F – составное число. Тогда у него есть делитель L, который меньше его. Но тогда L должен быть делителем и для H. Так как L<F, и L – делитель для H, то F оказывается не наименьшим делителем. Получили противоречие, следовательно, исходное предположение (что F – составное число) неверно. Значит, F – простое число.

Получается, что для проверки простоты числа достаточно проверить, что оно не делится ни на одно простое число, меньшее себя, кроме единицы.

Существует специальный алгоритм, известный как решето Эратосфена. С его помощью можно найти все простые числа вплоть до заданного. Пусть надо найти все простые числа, не большие 30. Запишем их в ряд или, для компактности, в виде таблицы:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Первое простое число – это 2. Выделим ее, а потом зачеркнем в списке чисел все те, которые делятся на 2 (зачеркнуты синим цветом):


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Из незачеркнутых чисел (кроме 1) наименьшим является тройка. Это значит, что она является простым числом, ведь мы не нашли простых чисел, которые меньше ее и которые являются ее делителем. Выделим тройку и также зачеркнем в табличке все числа, кратные ей и не зачеркнутые ранее (зачеркнуты красным цветом):


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Так как четверка уже зачеркнута, то следующим простым числом оказывается пятерка. Снова выделим ее и зачеркнем числа, кратные 5 (зачеркнуто зеленым цветом, число 25):


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Продолжая процесс, можно вычеркнуть в таблице все составные числа, а останутся только простые. В рассматриваемом примере уже не удастся вычеркнуть ни одно составное число, так как они были вычеркнуты ранее:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Есть данные, что понятие простых чисел было известно во времена Древнего Египта или даже в дописьменный период истории, однако только в древнегреческих источниках содержатся первые теоремы о них. Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много.

Действительно, предположим, что существует некий конечный список из n простых чисел:

Перемножим их все, а после добавим единицу:

Получившееся число Q будет давать при делении на числа остаток, равный единице. То есть Q не будет делиться ни на одно число из первоначального списка.

Например, если есть список из простых чисел 2, 3, 5, 7, то число Q будет равно:

Q = 2•3•5•7 + 1 = 210+1 = 211.

Число 211 не делится на 2, 3, 5 и 7.

Получается, что либо число Q– простое (как раз таким является число 211), либо существует простое число, не входящее в первоначальный список (так как все составные числа имеют хоть один простой делитель). Значит, не существует такого списка, который включал бы все простые числа. Следовательно, простых чисел бесконечно много

Существует важное утверждение, которое называют основной теоремой арифметики:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Проиллюстрируем это на примере. Возьмем число 220. Оно является составным, так как делится на 2. Поэтому его можно представить в виде:

220 = 2•110.

В свою очередь число 110 также является составным, так как делится на 2. Значит, его можно разложить:

110 = 2•55.

Тогда и изначальное число 220 можно представить в виде:

220 = 2•110 = 2•2•55.

Продолжая раскладывать множители, можно получить запись:

220 = 2•110 = 2•2•55 = 2•2•5•11.

Теперь в правой части стоят только простые числа 2 (два раза), 5 и 11. Разложение можно представить в виде рисунка:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Основная теорема арифметики утверждает, что таким образом на простые множители можно разложить любое составное число. Действительно, если число составное, то его можно разложить на произведение двух множителей. Если один из них окажется составным, то его снова можно разложить на множители, и так до тех пор, пока в произведении не останутся исключительно простые числа. Таким образом, простые числа являются своеобразными «кирпичиками», из которых можно составить все натуральные числа.

С простыми числами связано множество интересных фактов. Например, существует гипотеза, что любое четное число, большее 2, можно представить как сумму двух простых чисел. Например:

4 = 2+2;

6 = 3+3;

8 = 3+5;

10 = 3+7;

100 = 43+57;

500 = 13+487;

1000 = 89+911.

Это утверждение носит название «гипотеза Гольдбаха». Хотя звучит она очень просто, а сформулирована была в 1742 году, на самом деле до сих пор (на 2019 год) никому не удалось ни доказать, ни опровергнуть это утверждение.

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Разрядные единицы обозначают так:

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Пока человек использовал числа только для счета и сложения, ему вполне хватало натуральных чисел. Однако уже во время появления первых цивилизаций возникли задачи, связанные с делением. Например, определение площадей участков. Выяснилось, что для расчетов необходимо ввести особые, рациональные числа, то есть дроби. Например, если один пирог разрезать на две равные части, то получится две половины. Если же далее разделить одну из половин еще на две части, то каждая из них будет составлять четверть от изначального пирога.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

В качестве примера рациональных чисел можно привести дроби:

  • 2/3;
  • 5/7;
  • – 9/19;
  • 8/1.

Стоит заметить, что все целые числа также являются рациональными. Чтобы их представить в виде дроби, надо само число записать в числителе, а в знаменателе поставить единицу:

5 = 5/1;

18 = 18/1;

– 4 = – 4/1;

– 152 = – 152/1;

0 = 0/1.

В определении рационального числа не случайно указано, что в числителе должно находиться целое число, а в знаменателе – натуральное. Это связано с делением на ноль. Сам ноль, который является целым числом, может стоять в числителе. Однако деление на него запрещено, поэтому и указано, что в знаменателе должно стоять только натуральное число. Ноль не считается натуральным числом, а потому не может быть в знаменателе.

Напомним, почему деление на ноль не допускается. Операция деления определяется как операция, обратная умножению. Например, поделить 42 на 6 – это значит найти такое число x, для которого верно равенство:

6•x = 42.

Очевидно это число 7. Поэтому 42:6 = 7.

Теперь рассмотрим деление нуля. Например, поделим его на 5. Чему должен равняться x, чтобы выполнялось равенство

5•x = 0?

Такое значение x существует и равняется нулю:

5•0 = 0.

Значит, 0:5 = 0. Аналогично можно убедиться, что при делении нуля на любое число будет получаться ноль.

Теперь рассмотри деление на ноль. Поделим число 5 на него. В результате получим такое значение x, при котором будет выполняться равенство

0•x = 5?

Однако при любом значении x левая часть будет равна нулю, а потому искомого нами значения x просто не существует. Поэтому невозможно указать результат деления числа на ноль. Из-за этого считается, что эта операция не имеет смысла.

Те рациональные числа, которые не являются целыми, называют дробными.

Все множества рациональных чисел традиционно обозначают буквой Q. Правила вычислений с помощью дробей уже изучались в ранних классах, поэтому кратко напомним их.

Знаменатель и числитель дроби можно умножить на одно и тоже число (кроме нуля), и тогда дробь не изменится. Это правило известно как основное свойство дроби:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Обе части равенства можно умножить на число n:

Теперь поделим обе части на произведение q•n:

v = (p*n)/(q*n)

Приведем пример с числами. Известно, что 5 = 20/4. Это значит, что

5•4 = 20.

Умножим обе части, например, на 3:

5•4•3 = 20•3.

5•12 = 60.

По определению деления получаем, что 5 = 60/12, или


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Получается, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Если числитель и знаменатель имеют общий делитель (за исключением единицы), то есть их можно сократить, то дробь называют сократимой. В противном же случае она именуется несократимой. Так, дробь 4/6 сократимая, так как и 4, и 6 делятся на 2. А вот дробь 2/3 несократима, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей. Любую сократимую дробь можно привести к несократимой.

Если при записи дроби в явном виде используется дробная черта, то такую запись называют обыкновенной дробью. Однако на практике очень часто используют другое представление рациональных чисел, в виде десятичной дроби. Так называют дроби, в знаменателе которых стоит либо число 10, 100, 1000 или любая другая степень числа 10. Их можно записывать без использования дробной черты:

3/10 = 0,3;

8/100 = 0,08;

12345/1 000 = 12,345;

753/100 000 = 0,00753.

Любую десятичную дробь всегда можно записать в виде обыкновенной. При этом можно заметить, что если десятичную дробь записать в виде обыкновенной, а потом, сокращая числитель и знаменатель, получить несократимую дробь, то в результате знаменатель всегда можно будет представить как произведение чисел 2 и 5.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Это свойство связано с тем, что число 10 в любой степени – это произведение двоек и пятерок:

10 = 2•5;

100 = 10•10 = 2•5•2•5;

1000 =10•10•10 = 2•5•2•5•2•5.

При сокращении дроби мы «вычеркиваем» делители из числителя и знаменателя, а не добавляем их, поэтому в знаменателе так и останутся только двойки и тройки:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Получается, что любой конечной десятичной дроби соответствует несократимая обыкновенная дробь, в знаменателе которой представим как произведение двоек пятерок. Следовательно, обратное действие, перевод несократимой обыкновенной дроби в десятичную, можно выполнить исключительно тогда, когда в знаменателе дроби находится произведение двоек и пятерок. Например:

А вот дроби 2/3, 4/7, 10/13 невозможно представить в виде конечной десятичной дроби, так как их знаменатели 3, 7 и 13 нельзя представить как произведение двоек и пятерок.

Однако существуют и бесконечные десятичные дроби. В качестве примера можно привести числа:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Десятичная дробь, имеющая период, называется периодической десятичной дробью. Можно представить и непериодические дроби, например:

Между периодическими дробями и рациональными числами существует глубокая связь:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Чтобы произвести разложение обыкновенной дроби в бесконечную периодическую, следует просто выполнить ее деление столбиком. Покажем это на примере дроби 15/11:

На первой стадии деления столбиком получаем 1 с остатком 4. Далее дописываем к четверке ноль и продолжаем деление, записывая получаемые цифры уже после запятой:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Обратим внимание, что после записи чисел 3 и 6 мы снова получили в остатке 4 (выделено красным квадратом). Если продолжить деление, то вскоре мы снова получим 4 в остатке:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Таким образом, деление можно продолжать бесконечно, постоянно сталкиваясь с одними и теми же остатками. В периоде дроби получаем числа 3 и 6:

Несколько сложнее выполнить обратное преобразование, то есть получить обыкновенную дробь из периодической. Для этого надо составить уравнение. Покажем это на примере дроби 0,4

. Примем ее за x:

В периоде две цифры, поэтому умножим уравнение на 100. Если бы в периоде была одна цифра, то умножать уравнение следовало бы на 10, а если 3 – то на тысячу. Сколько цифр содержится в периоде, столько и нулей должно быть после единицы у числа, на которое мы умножаем уравнение:

В правой части мы просто передвинули запятую на два разряда вправо. Теперь вычтем из второго уравнения первое:

100*x – x = 48.7

– 0.4

Если в правой части произвести вычитание столбиком, то период исчезнет:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

В результате получаем уравнение:

Числа и цифры

Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

От количества цифр в числе зависит его название.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Определение числа

Число – это количественная характеристика чего-либо. Используется для подсчета количества, маркировки, измерения величин и т.д. Раньше для обозначений чисел использовались черточки, однако для записи больших значений такой способ был крайне неудобен. Представьте, сколько времени бы заняло рисование черточек для записи, к примеру, числа 745.

С развитием науки и математики в частности, была придумана десятичная система счисления, содержащая цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, которые называются арабскими. К слову, данная система применяется по сей и является самой распространенной.

Отличия чисел от цифр

С помощью десяти цифр можно записать любое натуральное число. В зависимости от того, сколько цифр содержится в числе, оно может быть:

Т.е. получается “626”.

Для записи чисел могут использоваться не только цифры, но и запятые (в некоторых странах – точки). Делается это для отделения целой и дробной частей. Например:

Определение, запись, произношение и свойства десятичной дроби мы подробно рассмотрели в отдельной публикации.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Названия классов многозначных чисел справа налево:

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

125 911 723 296.

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

125 миллиардов 911 миллионов 723 тысячи 296.

Когда читаем класс единиц, добавлять слово «единиц» в конце не нужно.

1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще чтобы визуально разделить классы чисел.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

https://youtube.com/watch?v=V8yKd_L1ssk%3Ffeature%3Doembed

https://youtube.com/watch?v=i-avfBl3QA8%3Ffeature%3Doembed

Когда читаем класс единиц, добавлять слово «единиц» в конце не нужно. Выберите идеального репетитора по математике15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения

Отрицательные и целые числа

Периодически при решении разнообразных задач оказывалось, что одних натуральных чисел недостаточно для нужд человека. Так, если человек заработал за день 5 монеток, но потратил на еду 6, то насколько увеличился его капитал? Для этого надо вычесть из пяти шесть, то есть из меньшего большее. В Античности подобные операции над числами не допускались. Примерно в VI–VIII веке в Китае, а потом и Индии математики все же стали использовать отрицательные числа, воспринимая их как символ «долга». Выяснилось, что они очень удобны и помогают существенно упростить вычисления.

В Европе первые упоминания об отрицательных числах относятся к XIII веку, однако долгое время они не признавались математиками и считались абсурдными. Лишь в XVII веке, когда произошло развитие аналитической геометрии и появилось наглядное изображение отрицательных чисел с помощью числовой, или координатной оси, отрицательные числа получили всеобщее признание. Однако лишь в XIX веке была создана достаточно строгая теория отрицательных чисел.

На числовой оси отрицательные числа располагаются левее нуля, в то время как натуральные (положительные) правее:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Добавление к числу единицы означает перемещение на одну позицию вправо, а вычитание – на одну позицию влево. Так, если из 3 надо вычесть 6, то это значит, что от точки 3 надо сделать влево шесть шагов:


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

В результате получается, что 3 – 6 = – 3.

Если два числа в сумме дают ноль, то они называются противоположными. В своей записи они отличаются только знаком. Так, противоположны друг другу числа 5 и – 5, 10 и – 10, 25 и – 25. Считается, что ноль противоположен сам себе. Ноль, натуральные числа, а также числа, противоположные натуральным, образуют множество целых чисел.


КАКИЕ БЫВАЮТ ЧИСЛА В МАТЕМАТИКЕ 6 КЛАСС

Для обозначения множества целых чисел используется буква Z.

Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.

Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.

Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.

Домашний лицей для 5–11 классовЗанятия где и когда удобно, 10+ кружков на выбор, никакого стресса с домашками и нудных родительских собраний

Про урокцифры:  ПРЕДОСТАВЛЯЕМ НЕВЕРОЯТНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ УЧИТЕЛЯМ

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *