Путешествие в микровселенную: квантовые вычисления и медицина
На уроке по теме Путешествие в микровселенную: квантовые вычисления и медицина школьники познакомятся с квантовыми технологиями и вычислениями, принципами их работы и применениями в медицине. Предлагаемые материалы изложены доступным языком и содержат простые, знакомые школьникам примеры. Используемые объяснительные модели показывают междисциплинарность рассматриваемой темы.
В помощь учителю при проведении урока также разработаны методические рекомендации, которые позволяют построить урок наиболее эффективным способом: представить исследуемую тему в доступной форме (фильм, презентации) и проверить полученные знания с помощью игрового формата – тренажеров.
Школьники смогут изучить теорию, закрепить полученные знания и разобраться в принципах квантовых вычислений и их применением сегодня и в будущем.
Учебные материалы для урока разработаны при участии ведущих ученых и специалистов Госкорпорации Росатом и Российского квантового центра и помогают ученикам не только узнать о передовых научных разработках в сфере квантовых технологий, но и сориентироваться в профессиях будущего и способах построения профессиональной карьеры в квантовой сфере.
Олимпиада для 8-11 классов прошла 10 марта 2024 года (2 день для 11 кл. – 30 марта; доступна орг. информация).
Класс
Задача 1
Учительница продиктовала Вовочке угловые коэффициенты и свободные члены трёх разных линейных функций, графики которых параллельны. Невнимательный Вовочка при записи каждой из функций поменял поменял местами угловой коэффициент и свободный член и построил графики получившихся функций. Сколько могло получиться точек, через которые проходят хотя бы два графика?
Задача 2
На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Задача 3
Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.
Задача 4
На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $K$. Отрезки $CM$ и $AK$ пересекаются в точке $E$. Оказалось, что $angle MEA = angle ABC$. Докажите, что середины всевозможных отрезков $MK$ лежат на одной прямой.
Задача 5
В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх.
Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук, начав внизу первого столбика, в конце пути оказался наверху пятого столбика?
Например, если палочки расположены как на рисунке, то жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью палочку на пути жука, то он поползёт по пунктирной линии.
Задача 4
На описанной окружности треугольника $ABC$ отметили середины дуг $BAC$ и $CBA$ — точки $M$ и $N$ соответственно, и середины дуг $BC$ и $AC$ — точки $P$ и $Q$ соответственно. Окружность $omega_1$ касается стороны $BC$ в точке $A_1$ и продолжений сторон $AC$ и $AB$. Окружность $omega_2$ касается стороны $AC$ в точке $B_1$ и продолжений сторон $BA$ и $BC$.
Оказалось, что $A_1$ лежит на отрезке $NP$. Докажите, что $B_1$ лежит на отрезке $MQ.
Задача 6
На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна.
Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального $k$ от 1 до 99 сумма чисел на $k$ верхних карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
Задача 2
Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.
Задача 3
В клуб любителей гиперграфов в начале года записались $n$ попарно незнакомых школьников. За год клуб провёл $100$ заседаний, причём каждое заседание посетил хотя бы один школьник.
Два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. В конце года оказалось, что количество знакомых у каждого школьника не меньше, чем количество заседаний, которые он посетил. Найдите минимальное значение $n$, при котором такое могло случиться.
Задача 2
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $BH$ и $CH$. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, равноудалена от точек $B$ и $C$.
Решение
Доказательство:
Рассмотрим треугольники $AMC$ и $ANB$. Так как $M$ и $N$ – середины отрезков, то $AM = MC$ и $AN = NB$.
Кроме того, так как $AH \perp BC$, то $\angle ANH = \angle AMH = 90^\circ$. Это означает, что у треугольников $AMH$ и $ANH$ также равны гипотенузы и углы.
Из этого следует, что треугольники $AMC$ и $ANB$ равны по стороне-уголу-стороне.
Следовательно, $\angle ACB = \angle ANB = \angle AMC = \angle ABC$.
Из этого следует, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$, лежит на биссектрисе угла $ACB$.
По условию остроугольного треугольника $ABC$ биссектриса также является высотой, а значит искомая точка равноудалена от точек $B$ и $C$.
Таким образом, утверждение доказано.
Задача 3
Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
Решение
Посмотрим на количество камней, которое забирает каждый игрок. Мы видим, что количество камней, забираемое вторым игроком, всегда на 1 больше, чем количество камней, забираемое первым игроком.
Следовательно, чтобы выиграть эту игру, первый игрок должен забрать 3 камня, так как второй игрок тогда сможет забрать только 1 или 2 камня, а затем первый игрок сможет забрать оставшиеся камни.
Итак, первый игрок выигрывает, если он забирает первые 3 камня.
Задача 4
Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули всех коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Решение
Доказательство:
Пусть дан многочлен $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$.
Известно, что каждый целочисленный корень $k$ многочлена является его делителем, то есть $P(k) = 0$.
Заметим, что если $k \neq 0$, то $|a_0| = |a_0k| \geqslant 2$, так как $a_0k$ – целое число, являющееся делителем $a_0$.
Если $a_n \neq 0$, то $P(0) = a_0 = 0$, что противоречит условию.
Таким образом, многочлен не может иметь ненулевых коэффициентов, не превосходящих 2.
Задача 5
В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$ — точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.
Решение
Доказательство:
Рассмотрим четырехугольник $H_AH_BH_CH_D$.
Проведем прямую через точку $H$, перпендикулярную прямой $AC$, и обозначим ее точкой пересечения с прямой $h_A$ как $P$.
Так как $AH = HC$ и $AP = PC$, то треугольники $AHP$ и $CHP$ равны по стороне-угол-стороне.
Это означает, что $\angle AHP = \angle CHP$. Но $\angle AHP$ и $\angle CHP$ – углы между прямыми $h_A$ и $h_C$ и $AC$ соответственно, значит прямые $h_A$ и $h_C$ пересекаются под углом.
Аналогично доказывается пересечение прямых $h_B$ и $h_D$.
Таким образом, все прямые пересекаются в одной точке.
Класс (2 день)
Задача 2
Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60% от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?
Решение
Обозначим количество команд в турнире за $k$.
В первом круге каждая команда сыграла $k – 1$ матч, во втором круге снова $k – 1$ матчей.
Тогда общее количество очков, набранное всеми командами, равно $3(k-1)^2$.
По условию, все команды вместе набрали 60% от этой суммы, то есть $0.6 \cdot 3(k-1)^2 = 1.8(k-1)^2$.
Победитель набрал во втором круге $3(k-1)$ очков.
Таким образом, $3(k-1) = 30 \cdot 1.8(k-1)^2$. Решив это уравнение, получаем $k = 7$.
Задача 4
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH_A$, $BH_B$ и $CH_C$ пересекаются в точке $H$. Через точки, в которых окружность радиуса $HH_A$ с центром $H$ пересекает отрезки $BH$ и $CH$, проведена прямая $\ell_A$. Аналогично проведены прямые $\ell_B$ и $\ell_C$. Докажите, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A, \ell_B, \ell_C$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Решение
Доказательство:
Рассмотрим также треугольник $H_AH_BH$. Пусть $\omega$ – окружность с радиусом $HH_A$ и центром в точке $H$.
Так как точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A, \ell_B, \ell_C$, это центр вписанной в $ABC$ окружности, обозначим ее $I$.
Так как $\ell_A$ проходит через точку пересечения окружности $\omega$ с $BH$, она также является касательной к окружности $\omega$.
Поэтому $\angle HH_AT = \angle HTB$, где $T$ – точка касания.
Но так как $AH_B$ и $AA_M$ – высота и медиана в треугольнике $AHH_B$, то $AA_M = 2AH_B$.
Следовательно, $\triangle AHH_B \sim \triangle A_MTB$.
Отсюда $\angle MA_T = \angle AHH_B$. Так как $\angle MAI = 90^\circ$, то $\angle AHI = \angle AHH_B = \angle MA_T$. То есть, точка $A_M$ лежит на прямой $\ell_A$.
Аналогично доказывается ее принадлежность прямым $\ell_B$ и $\ell_C$.
Следовательно, точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми $\ell_A, \ell_B, \ell_C$, совпадает с центром вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Задача 5
Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску $100 \times 100$ на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый — на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?
Решение
Предположим, что верно обратное утверждение, то есть для некоторого разбиения клеток это невозможно.
Рассмотрим группу из $m$ клеток, в которой нельзя покрасить половину клеток в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток.
Так как $m$ – четное число, то в этой группе должно быть равное количество черных и белых клеток.
Но это значит, что такое разбиение всегда возможно, противоречие.
Следовательно, после разбиения Пети всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе так, чтобы условие задачи было выполнено.