математика в изобразительном искусстве

Презентация на тему: математика и исскуство

Презентация на тему: Математика и искусство

Презентация на тему: Математика в изобразительном искусстве

Общие темы в математическом искусстве

Многогранники
Тесселляции
Невозможные фигуры
Лента Мебиуса
Искаженные и необычные перспективы
Фракталы

Вступление

Наука и искусство- два основных начала в
человеческой культуре, две дополняющие друг
друга формы высшей творческой деятельности
человека: даже в самой сердцевине науки есть
капля искусства, а каждое искусство несет в себе
частицу научной мудрости.

Легко отыскать примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны. Платон

Математика владеет не только истиной, но и
высшей красотой – красотой отточенной и
строгой, возвышенно чистой и стремящейся
к подлинному совершенству, которое
свойственно лишь величайшим образцам
искусства.
Бертран Рассел
Математика есть прообраз красоты мира.
В. Гейзенберг
Легко отыскать примеры прекрасного, но как трудно
объяснить, почему они прекрасны.
Платон

Исторически, математика играла важную роль в
изобразительном искусстве, в частности при
изображении перспективы.
Согласно современным взглядам, математика и
искусство- весьма отдаленные друг от друга
дисциплины, первая- аналитическа, втораяэмоциональная. Математика не играет очевидной
роли в работах современных художников, во многих
отсутствует та же перспектива в принципе, но есть и
такие художники, у которых математика находится в
центре внимания.

Понятие “архитектура” имеет несколько смыслов.
Архитектура – древнейшая сфера человеческой
деятельности и ее результ Архитектура зарождается
вместе с человечеством, сопровождает его в
историческом развитии. В ней отражаются
мировоззрение, ценности, знания людей, живших в
различные исторические эпохи. Прежде всего,
архитектурные сооружения возводились для
удобства жизни и деятельности человека. Они
должны были служить его пользе. Но человеку
свойственно еще и стремление к красоте, поэтому
все, что он делает, он старается сделать красивым.

Про урокцифры: НОМЕРА КУРСОВ РФ ДЛЯ 1 4 УРОВНЕЙ ВОЗЬМИ И ПОЛУЧИ СЕРТИФИКАТ СЕЙЧАС И ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ В ОБРАЗОВАНИИ

Тесная связь архитектуры и математики известна давно.
В Древней Греции – геометрия считалась одним из
разделов архитектуры. Современный архитектор должен
быть знаком с различными соотношениями ритмических
рядов, позволяющих сделать объект наиболее
гармоничным и выразительным. Кроме того, он должен
знать аналитическую геометрию и математический
анализ, основы высшей алгебры и теории матриц,
владеть методами математического моделирования и
оптимизации. Не случайно при подготовке архитекторов
за рубежом большое внимание уделяется математической
подготовке и владению компьютером.
Порой из-за недостаточного знания математики
архитектору приходится делать немало лишней работы.

Добро, Истина, Красота

Древние утверждали триединство этих трёх ликов
культуры. Со временем Истина отошла к науке,
Красота к искусству, а Добро вообще повисло в
воздухе. Но наука не освящённая идеалами Добра ведёт
мир к катастрофе. Искусство, потерявшее луч Истины,
погружается в мир декаданса. Красота в равной мере
должна питать искусство и науку.
Саврасов Грачи прилетели
Богоматерь Владимирская

«Музыка может возвышать или умиротворять душу,
живопись — радовать глаз, поэзия — пробуждать
чувства, философия — удовлетворять потребности
разума, инженерное дело — совершенствовать
материальную сторону жизни людей».
Морис Клайн, американский математик.
В пример хочется привести Леонарда Эйлера,
который в 13 лет поступил на факультет искусств
Базельского университета, где преподавались и
математика, и астрономия.

Конечно же все законы красоты невозможно
вместить в несколько формул. Но, изучая
математику мы открываем всё новые и новые
слагаемые прекрасного, приближаясь к
пониманию, а в дальнейшем и к созданию
красоты и гармонии.
Большой Сфинкс
Рим Колизей

Гармония
означает «согласованность, соразмерность,
единство частей и целого, обуславливающие
внутреннюю и внешнюю формы предмета, события,
явления, их совершенство». Внешне гармония может
проявляться в мелодии, ритме, симметрии,
пропорциональности.

Гармония означает «согласованность,
соразмерность , единство частей и
целого, обуславливающие внутреннюю и
внешнюю формы предмета, события,
явления, их совершенство». Внешне
гармония может проявляться в мелодии,
ритме, симметрии, пропорциональности.

Истинному искусству это не грозит. Имхотеп и Хесира,
Дюрер и Леонардо да Винчи, Моцарт и Бах, Палладио и
Ле Корбюзье – все они отдали дань поиску
математических законов искусства, однако это не убило в
них художников, а скорее наоборот, помогло стать
великими. Однако не стоит наводить «математический»
порядок в искусстве. Искусство живёт своей жизнью, оно
соткано из диалектически противоположных начал –
материального и духовного, рационального и
иррационального, сконструированного и сотворённого,
рассчитанного и угаданного. В первом случае искусство
доступно точному математическому анализу, во второй не
подвластно математике, да и не нужно разрушать эту
волшебную часть искусства логикой.

Едва ли кто-нибудь из не
математиков в состоянии
освоиться с мыслью, что
цифры могут представлять
собой культурную или
эстетическую ценность или
иметь какое-нибудь отношение
к таким понятиям, как красота,
сила, вдохновение. Я
решительно протестую против
этого костного представления о
математике.
Н. Винер

Математика и исскуство

«Математика и искусство.»

Великая книга природы написана математическими символами. Галилей

Искусство – -творческое отражение, воспроизведение действительности в художественных образах. Искусство существует и развивается как система взаимосвязанных между собой видов, многообразие которых обусловлено многогранностью самого реального мира, отображаемого в процессе художественного творчества.

Виды искусств Наиболее распространенной схемой является деление искусства на три группы. пространственные или пластические виды искусств:Изобразительное искусство, Декоративно-прикладное искусство, Архитектура, Фотография. временные или динамические виды искусств:Музыка, Литература пространственно-временные виды, которые называются также синтетическими или зрелищными искусствами:Хореография, Литература, Театральное искусство, Киноискусство.

Существование различных видов искусств вызвано тем, что ни одно из них своими собственными средствами не может дать художественную всеобъемлющую картину мира. Такую картину может создать только вся художественная культура человечества в целом, состоящая из отдельных видов искусства.

«Потребность красоты и творчества, воплощающего ее, – неразлучна с человеком, и без нее человек, быть может, не захотел бы жить на свете». Ф. М. Достоевский

Существуют ли объективные законы прекрасного? Нельзя отрицать заглавную роль симметрии в природе, которая обязана своим существованием вечному закону природы – закону тяготения. В основе основ музыки и архитектуры- гамме и пропорции – лежит математика, в частности ряд золотого сечения и модулор Ле Корбюзье. В изобразительном искусстве используется общая теория перспективы.

“Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство” Герман Вейль

К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение. Принцип “симметрии” широко используется в искусстве. Бордюры в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты в прикладном искусстве, – все это примеры использования симметрии. Принцип симметрии очень часто используется совместно с принципом “золотого сечения”. Таким примером может служить картина Рафаэля “Обручение Марии”

Геометрия орнаментов, бордюров, паркетов. Орнаментальное искусство одно из самых древних. С орнаментами мы встречаемся повсюду: в декоративно-прикладном искусстве, в росписях архитектурных сооружений, в чугунных решётках, окаймляющих сады, парки, дворцы. Орнамент – это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент, как правило, подчёркивает своим построением и формой архитектурные и конструктивные особенности предмета, природную красоту материала. В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии.

Театральная площадь, Большой театр О. Бове, А. Михайлов 1821-1853

Триумфальная арка Ж. Ф. Т. Шальгрен 1806-1836 Франция, Париж

Золотое сечение в искусстве «Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением и если первое можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем». Иоганн Кеплер

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения. Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие развивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что, так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Математика и музыка. Изучая высоту звука с помощью монохорда – простейшего инструмента Древних греков, Пифагор обнаружил поразительные вещи. Выяснилось, что приятные слуху созвучия – консонансы получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, соотносятся как целые числа первой четвёрки, т.е. 1:2, 2:3, 3:4. Это открытие потрясло Пифагора: оказалось, что звук и созвучие могут быть представлены простыми числами

Великий немецкий композитор XVII века Иоганн Себастьян Бах писал церковную музыку. Позднее уже после его смерти музыканты-исследователи выяснили, что многие мелодии композитора имеют цифровые коды – символы, а произведения точно математически просчитаны.

Французский композитор и музыкальный теоретик Жан Филипп Рамо в своём «Трактате о гармонии», написанном в 1722 году, говорил о том, что «музыка подчинена арифметике», уделял много внимания физико-математическим исследованиям.

Игорь Стравинский, хорошо знавший музыку мастеров эпохи Ренессанса, также находил много общего между математикой и музыкой. « Способ композиторского мышления – способ, которым я мыслю, – мне кажется, не очень отличается от математического», «музыкальная форма математична хотя бы потому, что она идеальна» – эти высказывания Стравинского ярко выражают его убеждения

Математика и литература “Математик, который не есть отчасти поэт, не будет никогда подлинным математиком” К. Вейерштрасс

Некоторые ошибочно думают – говорила великий русский математик-женщина С. Ковалевская, что математика – это сухая наука. Они смешивают математику с арифметикой, в которой проводятся вычисления, порой трудные и скучные, с числами. Но для того чтобы быть настоящим математиком, добавила С. Ковалевская, нужно быть поэтом в душе.

Поэтами были многие восточные ученые-энциклопедисты средневековья. Достаточно упомянуть лишь таких крупных мусульманских ученых, как Ибн Сина (Авиценна) (X-XI в.), аль-Хайям (XI в.), аль-Беруни (XII в.), Ибн аль-Ясмин (XII в.), Ибн аль-Хаим (XV в.) и Ибн Гази (XV в.). Они сделали много в науке вообще и в математике особенно. Ибн Сина (Авиценна) Омар Хайям Аль-Беруни

Льюис Кэрролл (настоящее имя – Чарлз Латуидж Доджсон). Научные работы Кэрролла предвосхитили некоторые идеи математической логики. Но больше он известен как автор популярных повестей для детей. Так в 1865 году он издал сказку «Алиса в стране чудес». Королева Англии, прочитав книгу, пришла в восторг от сказки и приказала срочно приобрести остальные сочинения Кэрролла. И очень удивилась, когда выяснилось, что все остальные произведения Кэрролла – сочинения по высшей математике, сравнительной анатомии, палеонтологии и систематике животных.

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Вся фигура и картина в целом опутана здесь двумя золотыми треугольниками и сетью больших, средних и малых золотых прямоугольников, ориентированных по ширине или высоте полотна.

Наука и искусство, словно нити холста, переплетались в полотнах мастеров Возрождения. Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия – в искусство.

Фракталы. Люди придумали цифры и действия с ними, а потом в них же открыли множество законов, правил и теорем. Кроме того, оказалось, что в жизни цифр, линий, углов и бесконечно малых величин можно увидеть много красивого – изящные теоремы, тела, поверхности, даже условия задач. Числа живут своей жизнью, и мы, соприкоснувшись с ней, удивляемся, а иногда и любуемся ею. Компьютер дает нам возможность видеть на экране те или иные процессы, которые мы программируем.

Фракталы получают с помощью некоторой ломаной. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется по некоторому правилу на некоторую ломаную в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Очень часто описанным способом пользуются при рисовании орнаментов, облаков, деревьев и т. д.

Спасибо за внимание!

Музыка

Многие вопросы, связанные с природой музыки и ее
воздействием на человека, могут быть описаны языком
математики. В то же время образование звука в
музыкальных инструментах описывается
математическими задачами. Музыка есть таинственная
арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая.
Гамма До мажор на
фортепиано
Пифагоров строй гаммы До мажор и её
математические характеристики

Примеры зданий классицизма – архитектурного стиля, полностью опирающегося на античные каноны

Санкт-Петербург.
Таврический
дворец
Царское Село.
Екатерининский
дворец
Мариинский театр

Эпилог
Алиса, сказку детских дней
Храни до седины.
В том тайнике, где ты хранишь
Младенческие сны,
Как странник бережет цветок
Далекой стороны.

Скульптура

Для канонических типов статуй и рельефов максимальный
размер фигуры – уровень носа, рта, шеи, плеч, пояса и т.д. определяется восемью последовательно возрастающими
величинами, отмеряющимися от верхнего предела.
Венера Милосская –
знаменитая древнегреческая
скульптура, которая на
протяжении многих веков
считается идеальной в
пропорциях

Леонардо да Винчи (1452 – 1519)

Внебрачный сын зажиточного
нотариуса и простой крестьянки
Скульптор и зодчий
Художник и теоретик искусства
Математик и механик-изобретатель
Биолог и анатом
Физик и астроном

Математика и искусство

Математика и искусство Работу выполнили ученицы 9»А» класса гимназии №144 Петухова Ольга и Куныгина Анна

Наука и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы высшей творческой деятельности человека. В истории человечества были времена, когда эти начала дружно уживались, а были времена , когда они противоборствовали. Но видимо высшая их цель – быть взаимодополняющими гранями человеческой культуры, потому что даже в самой сердцевине науки есть элемент искусства, а всякое искусство несёт в себе частицу научной мудрости.

В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано на практике без помощи вмешательства математики. Ф. БэконЕдва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого костного представления о математике. Н.Винер

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства. Бертран РасселМатематика есть прообраз красоты мира. В.ГейзенбергЛегко отыскать примеры прекрасного, но как труднообъяснить, почему они прекрасны. Платон

Математика, Гармония, Красота

Математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства. Это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. Математик, так же как и художник или поэт, создает узоры, и если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей.

Гармония означает «согласованность, соразмерность, единство частей и целого, обуславливающие внутреннюю и внешнюю формы предмета, события, явления, их совершенство». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии, пропорциональности.

Красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и живых организмах, в атоме и во Вселенной, в произведениях искусства и в научных открытиях. В отличие от истины красота понятна человеку даже тогда, когда её внутренние закономерности остаются непознанными.

О золотом сечении Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему:a : b = b : c или с : b = b : а.

Из истории золотого сечения Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого сечения позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого сечения.

Деление отрезка прямой по золотому сечению

Золотое сечение в пропорциях тела человека

«Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись — радовать глаз, поэзия — пробуждать чувства, философия — удовлетворять потребности разума, инженерное дело — совершенствовать материальную сторону жизни людей». Морис Клайн, американский математик. В пример хочется привести Леонарда Эйлера, который в 13 лет поступил на факультет искусств Базельского университета, где преподавались и математика, и астрономия.

Леонардо, узнавший о евклидовой геометрии, в рисунке изобразил, каким образом фигура человека с распростертыми руками может быть вписана и в круг, и в квадрат.

В общеизвестной работе да Винчи «Джоконда» наблюдается строгое соблюдение композиции, построенной на так называемом «золотом треугольнике»:

Теперь невозможно представить, как бы рабочие строили жилые дома и другие здания без точных расчетов, вычислений, без чертежей, не опираясь на наследие древних.

Примеры зданий классицизма – архитектурного стиля, полностью опирающегося на античные каноны: Санкт-Петербург. Таврический дворецЦарское Село. Екатерининский дворецМариинский театр

Существуют ли объективные законы прекрасного? Нельзя отрицать заглавную роль симметрии в природе, которая обязана своим существованием вечному закону природы – закону тяготения. В изобразительном искусстве используется общая теория перспективы. В основе основ музыки и архитектуры – гамме и пропорции – лежит математика, в частности ряд золотого сечения и модулор Ле Корбюзье.

Искусство –это не только содержание , но и форма. Но не убьёт ли знание законов формообразования искусство, не превратит ли его в процесс изготовления штампов?

Истинному искусству это не грозит. Имхотеп и Хесира, Дюрер и Леонардо да Винчи, Моцарт и Бах, Палладио и Ле Корбюзье – все они отдали дань поиску математических законов искусства, однако это не убило в них художников, а скорее наоборот, помогло стать великими. Однако не стоит наводить «математический» порядок в искусстве. Искусство живёт своей жизнью, оно соткано из диалектически противоположных начал – материального и духовного, рационального и иррационального, сконструированного и сотворённого, рассчитанного и угаданного. В первом случае искусство доступно точному математическому анализу, во второй не подвластно математике, да и не нужно разрушать эту волшебную часть искусства логикой.

Очень важно найти математические закономерности в прекрасном – «законы красоты». Попытки хотя бы приблизиться к ним предпринимались с древнейших времён: это и математические законы Пифагора в музыке, и геометрическая модель Вселенной Кеплера, это и система пропорций в скульптуре и архитектуре, и геометрические законы живописи. И сегодня энтузиазм исследователей не убывает.

Единство науки и искусства – важнейший залог последующего развития культуры.

Единство науки и
искусства –
важнейший залог
последующего
развития культуры.

Математика – царица всех наук, символ
мудрости. Красота математики среди наук недосягаема,
а красота является одним из связующих звеньев науки
и искусства. Это не только стройная система законов,
теорем и задач, но и уникальное средство познания
красоты.
Математик, так же как и
художник или поэт,
создает узоры, и если
его узоры более
устойчивы, то лишь
потому, что они
составлены из идей.

На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система. С точки
зрения геометрии она представляет собой многогранник, который
получится, если мысленно на два вертикально стоящих
прямоугольных параллелепипеда поставить еще один
прямоугольный параллелепипед. Это одна из первых конструкций,
которая стала использоваться при возведении зданий и представляет
собой сооружения, которые состоят из вертикальных стоек и
покрывающих их горизонтальных балок. Первым таким
сооружением было культовое сооружение – дольмен. Оно состояло
из двух вертикально поставленных камней, на которые был
поставлен третий вертикальный камень. Кроме дольмена, до нас
дошло еще одно сооружение, представляющее простейшую стоечнобалочную конструкцию – кромлех. Нужно заметить, что до сих пор
стоечно-балочная конструкция является наиболее распространенной
в строительстве. Большинство современных жилых домов в своей
основе имеют именно стоечно-балочную конструкцию.

Математика
и искусство
Работу выполнили
ученицы 9»А» класса
гимназии №144 Петухова
Ольга и Куныгина Анна

Сальвадор Дали

Дали в некоторых своих
произведениях тоже
использовал математические
идеи. В данной картине
«Распятие», например,
изображен гиперкуб. А на
картине «La Visage de la
Guerre»
последовательность
уменьшающихся лиц.

Красота многогранна и многолика. Она выражает
высшую целесообразность устройства мира, подтверждает
универсальность математических закономерностей, которые
действуют одинаково эффективно в кристаллах и живых
организмах, в атоме и во Вселенной, в произведениях
искусства и в научных открытиях. В отличие от истины
красота понятна человеку даже тогда, когда её внутренние
закономерности остаются непознанными.
«Артемида»

Невозможные фигуры

Иштван Орос «Перекрестки»

Лента Мебиуса

Мауриц Эшер «Всадники»

Под «правилом золотого сечения»
в архитектуре и искусстве обычно понимаются
асимметричные композиции, не обязательно
содержащие золотое сечение математически.
Многие утверждают, что объекты, содержащие в
себе «золотое сечение», воспринимаются
людьми как наиболее гармоничные.

«Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математическое доказательство»

Древнегреческий философ
«Пифагор» – «убеждающий
речью»
После первой лекции
приобрел 2000 учеников
Основатель пифагорейской
школы
Строгий вегетарианец
Победитель Олимпийских игр
по кулачному бою, V в. до н.э.

Архитектура

Архитектура — удивительная область человеческой
деятельности. В ней тесно переплетены и строго
уравновешены наука, техника и искусство. Люди с
доисторических времён строят удивительно красивые
сооружения, в которых используют знания из различных
областей науки.
Большой Сфинкс
Рим. Колизей

Очень важно найти математические
закономерности в прекрасном «законы красоты». Попытки хотя бы
приблизиться к ним
предпринимались с древнейших
времён: это и математические
законы Пифагора в музыке, и
геометрическая модель Вселенной
Кеплера, это и система пропорций в
скульптуре и архитектуре, и
геометрические законы живописи. И
сегодня энтузиазм исследователей не
убывает.

Искаженные перспективы. Фракталы

ДИК ТЕРМЕС «КЛЕТКА
ДЛЯ ЧЕЛОВЕКА»
КЭРИ МИТЧЕЛЛ «БУДДА»

Наука и искусство – два основных начала
в человеческой культуре, две
дополняющие друг друга формы высшей
творческой деятельности человека. В
истории человечества были времена,
когда эти начала дружно уживались, а
были времена , когда они
противоборствовали.
Но видимо высшая их цель – быть
взаимодополняющими гранями
человеческой культуры, потому что даже
в самой сердцевине науки есть элемент
искусства, а всякое искусство несёт в
себе частицу научной мудрости.

Деление отрезка прямой по
золотому сечению
С
D
=
=
=
В
E
А
62
38

Из истории золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в
научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и
математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор
свое знание золотого сечения позаимствовал у египтян и
вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса,
храмов, барельефов, предметов быта и украшений из
гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские
мастера пользовались соотношениями золотого сечения
при их создании.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют
золотые пропорции. При его раскопках обнаружены
циркули, которыми пользовались архитекторы и
скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле
(музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого
сечения.

В природе существует много такого, что
не может быть ни достаточно глубоко
понято, ни достаточно убедительно
доказано, ни достаточно умело и надёжно
использовано на практике без помощи
вмешательства математики.
Ф. Бэкон
Едва ли кто-нибудь из нематематиков в
состоянии освоиться с мыслью, что цифры
могут представлять собой культурную или
эстетическую ценность или иметь какоенибудь отношение к таким понятиям, как
красота, сила, вдохновение. Я решительно
протестую против этого костного
представления о математике.
Н. Винер

Её жизнь трагически оборвалась в 41 год.

«В истории человечества до
Ковалевской не было женщины,
равной ей по силе и своеобразию
математического таланта»
С. И. Вавилов

Эстетика

«В мире нет места некрасивой математике»
Г. Харди.
Шотландский философ эпохи Просвещения
Френсис Хатчесон, автор труда
«Исследования о происхождении наших идей
красоты и добродетели в двух трактатах» в
разделе «О красоте теорем» выделяет три
признака красоты науки:
1) красота есть единство в многообразии;
2) красота заключена во всеобщности
научных истин;
3) научная красота — это обретение
неочевидной истины.
К признаку 1) можно отнести и теорему
Пифагора:
a2 + b2 = c2.
Френсис Хатчесон

Математика и
литература –
два крыла
одной
культуры.

Не считай себя великим человеком по величине
твоей тени при заходе солнца.
Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе
самом.
Делай великое, не обещая великого.
Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали
недругами, а недруги стали друзьями.
Великая наука жить счастливо состоит в том, чтобы
жить только в настоящем.
Начало – половина целого.
Пифагор

Пит Мондриан

Мондриан призывал к
«денатурализации» искусства, к отказу
от естественных форм и переходу к
чистой абстракции. Начиная с 1913
года, картины Мондриана развивались
в сторону абстрактных матриц,
состоящих из чёрных горизонтальных
и вертикальных линий. Постепенно
расположение линий на холсте
упорядочилось до такой степени, что
они стали представлять собой
правильные решётки с ячейками.
Ячейки закрашивались основными
цветами, то есть красным, синим и
жёлтым. Таким образом, структуру
картины образовывали дихотомии
цвет — не-цвет, вертикаль —
горизонталь, большая поверхность —
малая поверхность, единение которых
должно было символизировать
равновесие сил в гармонии
мироздания. Несмотря на предельную
ограниченность визуальных средств,
творчество Мондриана оказало
большое влияние на современников и
породило новые направления в
живописи и графике.

Русский писатель А. С. Грибоедов окончил
физико-математический факультет.
Крупнейший русский математик 19 века
В. Я. Буняковский был поэтом.
Математику любили Н. В. Гоголь,
А. С. Пушкин, М. Ю. Лермонтов,
а Л. Н. Толстой занимался составлением
арифметических задач.

Архимед

описал 13 полуправильных
многогранников. Так же как правильные
многогранники называют Платоновыми,
полуправильные многогранники называют
архимедовыми. Записи Архимеда об этих
многогранниках были утеряны вместе с
фигурами многогранников. Они были открыты
вновь лишь в эпоху Ренессанса, и описание всех
13 многогранников было впервые опубликовано
в книге Иоганна Кеплера “Harmonices Mundi” в
1619 году, почти через две тысячи лет после
смерти Архимеда.

Гимн пифагорейцев восходящему солнцу.

Эшер

В некотором роде этот
голландский художник
является отцом
математического искусства.
Математические идеи
играют центральную роль в
большинстве его картин за
исключением лишь ранних
работ. Большинство идей,
часто используемых
современными
математическими
художниками, были
использованы Эшером, и его
работы часто являются
источником вдожновения
для современных авторов.

Теперь невозможно представить, как бы рабочие
строили жилые дома и другие здания без точных
расчетов, вычислений, без чертежей, не опираясь на
наследие древних.

Одной из частых тем математического искусства
является использование многогранников, которые
были изучены достаточно давно.
Платон описал пять правильных многогранников,
которые также иногда называются телами Платона.
Однако открыты они были раньше Платона, и
детали открытия правильных многогранников
остаются загадкой. Платон соотносил эти тела с
четырьмя элементами: огонь – тетраэдр, воздух октаэдр, вода – икосаэдр, земля – куб. Далее, он
писал, что существует пятая комбинация, которой
Бог ограничил Мир, это додекаэдр.

Наука и искусство – два основных
начала в человеческой культуре, две
дополняющие друг друга формы
высшей творческой деятельности
человека. В истории человечества
были времена, когда эти начала
дружно уживались, а были времена ,
когда они противоборствовали.
Но видимо высшая их цель –
быть взаимодополняющими
гранями человеческой культуры,
потому что даже в самой
сердцевине науки есть элемент
искусства, а всякое искусство
несёт в себе частицу научной
мудрости.

Омар Хайям (1048 – 1123)

Персидский математик,
астроном
«Хайям» означает
«палаточный мастер»
Автор знаменитых рубаи

«Потребность
красоты и
творчества,
воплощающего ее, неразлучна с
человеком, и без
нее человек, быть
может, не захотел бы
жить на свете».
Ф. М. Достоевский

Искусство –это не только содержание , но
и форма. Но не убьёт ли знание законов
формообразования искусство, не превратит
ли его в процесс изготовления штампов?

Льюис Кэрролл (1832-1898)

Настоящее имя Чарльз
Доджсон
Английский священник
Профессор математики
Автор знаменитой
повести-сказки
«Алиса в стране чудес»

Существуют ли объективные
законы прекрасного?
Нельзя отрицать заглавную роль
симметрии в природе, которая обязана
своим существованием вечному закону
природы – закону тяготения.
В изобразительном искусстве используется
общая теория перспективы.
В основе основ музыки и архитектуры гамме и пропорции – лежит математика, в
частности ряд золотого сечения и модулор
Ле Корбюзье.

И. Бах
В. Моцарт
Л. Бетховен
И. Гайдн
Ф. Шопен

Леонардо,
узнавший о
евклидовой
геометрии, в
рисунке изобразил,
каким образом
фигура человека с
распростертыми
руками может быть
вписана и в круг, и
в квадрат.

Живопись

Каждый ясно видит разницу между правильными и
неправильными чертами человеческого лица, но до сих
пор никто не может точно сформулировать закон,
которому подчинена форма красивого лица.
Для изображения лиц взрослого человека широко
применяется «золотое сечение». Золотая пропорция
занимает ведущее место в художественных канонах
Леонардо да Винчи и Дюрера.
Леонардо да
Винчи
Фреска «Тайная вечеря»

Математика в изобразительном искусстве

« Математика в изобразительном искусстве»Исследовательская работа по математике ученицы 10 класса «А» средней школы № 19 Галита Анастасии Преподаватель: Воеводина О. А

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая – аналитическая, вторая – эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже использование перспективы. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Несколько значительных фигур в изобразительном искусстве проложили дорогу этим индивидуумам.

Голландский художник М. К. Эшер (1898-1972) в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдохновения для современных авторов.

Темы наиболее часто использующиеся в изобразительном искусствеМногогранникЛента МебиусаНевозможные фигурыТесселяцияФракталыИскаженные перспективы

Многогранники Многогранник – это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Эшер использовал многогранники во многих своих работах, включая “Рептилии” (1949), “Двойной планетоид” (1949) и “Гравитация” (1952).

Тесселляции Тесселляции, известные также как покрытие плоскости плитками, являются коллекциями фигур, которые покрывают всю математическую плоскость, совмещаясь друг с другом без наложений и пробелов. Правильные тесселляции состоят из фигур в виде правильных многоугольников, при совмещении которых все углы имеют одинаковую форму. Существует всего три многоугольника, пригодные для использования в правильных тесселляциях. Это – правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Полуправильными тесселляциями называют такие тесселляции, в которых использованы правильные многоугольники двух или трех типов и все вершины одинаковы. Существует всего 8 полуправильных тесселляций. Вместе три правильных тесселляции и восемь полуправильных носят название Архимедовых. Тесселляции, в которых отдельные плитки являются узнаваемыми фигурами, являются одной из основных тем творчества Эшера. В его записных книгах содержатся более 130 вариантов тесселляций. Он использовал их в огромном количестве своих картин, среди которых “День и ночь” (1938), серия картин “Предел круга” I-IV, и знаменитые “Метаморфозы” I-III (1937-1968). Примеры ниже – картины современных авторов Холлистера Девида и Роберта Фатауэра.

HOLLISTER DAVID “СЕМЬ ПТИЦ”. Н А ЭТОЙ КАРТИНЕ ИЗОБРАЖЕНЫ СЕМЬ ПТИЦ, ДВЕ ИЗ КОТОРЫХ ИЗОБРАЖЕНЫ В НЕГАТИВЕ НА ФОНЕ ЛАНДШАФТА ГОРОДА АХО В АРИЗОНЕ. П ОСЛЕДОВАТЕЛЬНО УМЕНЬШАЮЩИЕСЯ ФИГУРЫ ПТИЦ СОВМЕЩАЮТСЯ ДРУГ С ДРУГОМ В ВИДЕ ФРАКТАЛЬНОЙ ТЕССЕЛЛЯЦИИ. Х ВОСТОВЫЕ ПЕРЬЯ КАЖДОЙ ПТИЦЫ ЯВЛЯЮТСЯ РАЗДЕЛЯЮТ КОНСТРУКЦИЮ НАПОПОЛАМ, ОТСЕКАЯ ПРИМЕРНО ТРЕТЬ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ КОНЧИКАМИ КРЫЛЬЕВ. К АЖДАЯ МЕНЬШАЯ ПТИЦА В СВОЮ ОЧЕРЕДЬ ДЕЛИТ СВОЮ ОБЛАСТЬ АНАЛОГИЧНЫМ ОБРАЗОМ. Е СЛИ ЭТОТ ПРОЦЕСС ПРОДОЛЖАТЬ ДО БЕСКОНЕЧНОСТИ, ПОЛУЧИТСЯ НАБОР ТОЧЕК, ИЗВЕСТНЫЙ КАК МНОЖЕСТВО КАНТОРА ИЛИ КАНТОРОВА ПЫЛЬ.

Robert Fathauer “Фрактальные рыбы – сгруппированные группы”. Это компьютерная работа, распечатанная на фотобумаге. Сквозь иллюминатор видны волны, но при ближайшем рассмотрении видно, что волны являются на самом деле фрактальной тесселляцией, состоящей из рыб.

Искаженные и необычные перспективы Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область – анаморфное искусство. Dick Termes “Клетка для человека” (1978)

Невозможные фигуры Невозможные фигуры – эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах “Бельведер” (1958), “Восхождение и спуск” (1960) и “Водопад” (1961). Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвана Ороса

Лента Мебиуса Лента Мебиуса – это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах “Всадники” (1946), “Лента Мебиуса II (Красные муравьи)” (1963) и “Узлы” (1965).

Фракталы Фрактал – это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей. К сожалению, фракталы как таковые были недоступны Эшеру, потому что были формализованы и выделены в отдельную область математики лишь после его смерти. Эшер очень интересовался изображением бесконечного в пределах конечной области, в частности бесконечными тесселляциями. Он использовал сжимающиеся координатные сетки и гиперболическую геометрию для достижения этого эффекта, как показано в картинах “Предел круга” I-IV (1958-1960) и “Предел квадрата” (1964). Ниже приведены примеры современных художников Кэри Митчелл и Роберта Фатауэра.

Kerry Mitchell “Будда” – компьютерная картина основанная на множестве Мандельброта, исследованного Бенуа Мандельбротом

Robert Fathauer “Композиция кругов” (2001) – не является вычисляемым фракталом, однако может быть получен графически, упаковывая меньшие круги в больших.

Связь математики и изобразительного искусства при конструктивном построении натюрморта. Натюрморт (фр. nature morte — букв. «мертвая природа») — изображение неодушевлённых предметов в изобразительном искусстве, в отличие от портретной, жанровой, исторической и пейзажной тематики. При построении натюрморта используются такие понятия как: параллельные прямые, геометрические фигуры, отношения, пропорции, оси симметрии. Приведём пример построения на простейшем натюрморте, состоящем из трёх предметов(ваза, кружка, груша)

ВазаПри построении в первую очередь учитывается отношение высоты вазы к ширине. h/bЗатем проводятся оси симметрии. Чтоб точнее передать изображение, предмет разбивается на простые формы, геометрические фигуры.

1.конус 2. Цилиндр3. Усечённый конус

То же самое проделывается и в отношении кружки и груши. Оси симметрии, отношение высоты к ширине, разбивание предметов на простые формы.

Кружка: Груша:1. Усечённый конус 1. Цилиндр2. Цилиндр 2. Конус 3. Шар

Соединяем три элемента . При этом мы должны учитыватьотношение размеров предметов относительно друг друга, т. е. сколько раз высота груши помещается в высоту вазы, ширина кружки в высоту груши и т. д. При построении овалов учитывается перспектива, чем ниже овал относительно уровня глаз, тем больше он раскрыт. Все оси овалов в каждом предмете строго параллельны друг другу. Кружка и ваза строго симметричны относительно осей симметрии.

МНОГИЕ ХУДОЖНИКИ В СВОИХ РАБОТАХ ИСПОЛЬЗУЮТ МАТЕМАТИКУ. Н АДЕЮСЬ, ЧТО В СВОЕЙ РАБОТЕ Я ДОКАЗАЛА, ЧТО, КАЗАЛОСЬ БЫ, ТАКИЕ ОТДАЛЁННЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ КАК МАТЕМАТИКА И ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОЕ ИСКУССТВО ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ДРУГ С ДРУГОМ, А В ТВОРЧЕСТВЕ НЕКОТОРЫХ ХУДОЖНИКОВ ОНИ ОЧЕНЬ ТЕСНО СВЯЗАНЫ.

Значение золотого сечения

Есть основание считать, что значимость золотого
сечения в искусстве преувеличена и основывается на ошибочных расчётах.
Некоторые из таких утверждений:
Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и
украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что
египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их
создании.
Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в
рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур
соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого
храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из
древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также
заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.
Результаты исследования золотого сечения в музыке впервые изложены в
докладе Эмилия Розенова (1903) и позднее развиты в его статье «Закон
золотого сечения в поэзии и музыке» (1925). Розенов показал действие
данной пропорции в музыкальных формах эпохи Барокко и классицизма на
примере произведений Баха,Моцарта, Бетховена.

В общеизвестной работе да Винчи
«Джоконда» наблюдается
строгое соблюдение композиции,
построенной на так называемом
«золотом треугольнике»:
С
AD:AC=
D
=
=DC:AD

Математика владеет не только истиной, но и
высшей красотой – красотой отточенной и
строгой, возвышенно чистой и стремящейся к
подлинному совершенству, которое свойственно
лишь величайшим образцам искусства.
Бертран Рассел
Математик, так же
как и художник или
поэт, создает
узоры, и если его
узоры более
устойчивы, то
лишь потому, что
они составлены из
идей.

Как математика помогает добиться прочности сооружений.

Прочность сооружения обеспечивается не только
материалом, из которого оно создано, но и конструкцией,
которая используется в качестве основы при его
проектировании и строительстве. Прочность сооружения
напрямую связана с той геометрической формой, которая
является для него базовой. Самым прочным
архитектурным сооружением с давних времен считаются
египетские пирамиды. Именно эта геометрическая
форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет
большой площади основания. С другой стороны, форма
пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере
увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства
делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в
условиях земного тяготения.

О золотом сечении

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление
отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так
относится к большей части, как сама большая часть
относится к меньшей; или другими словами, меньший
отрезок так относится к большему, как больший ко всему:
a : b = b : c или с : b = b : а.

Известен своими
достижениями в качестве
изобретателя и художника. В
его записных книгах
содержатся первые из
известных примеров
анаморфного искусства,
использующего искаженные
сетки перспективы. Его
наклонные анаморфные
изображения представляют
объекты, которые должны
рассматриваться по углом,
чтобы они выглядели
неискаженными.