Вступление
ВСТУПЛЕНИЕ
«Музыка есть таинственная арифметика
души;
Она вычисляет, сама того не подозревая»
Г. Лейбниц.
Математика и музыка- 2 предмета казалось
бы не совместимых , но это не так.
Цель работы:провести взаимосвязь между
музыкой и математикой.
Ваша оценка презентации
Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
Посмотреть все слайды
Похожие презентации
Спасибо, что оценили презентацию.
Мы будем благодарны если вы поможете сделать сайт лучше и оставите отзыв или предложение по улучшению.
Добавить отзыв о сайте
Конспект урока в 5 классе по математике
учебно-познавательный интерес к составлению схемы порядка выполнения действий и способам решения новой задачи; способность к самооценке на основе учебной деятельности.
создавать схемы для решения учебных математических задач.
работать в паре, отображать в речи содержание совершаемых действий;
принимать и сохранять учебную задачу; умение планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей, осуществлять пошаговый контроль по алгоритму, самостоятельно анализировать результаты своей деятельности.
Формирование и развитие ценностного отношения к совместной учебно-познавательной деятельности по составлению и применению алгоритма порядка действий в числовых выражениях.
Тип урока: урок получения новых знаний.
Проверьте, пожалуйста, наличие у вас на партах учебников, тетрадей, ручек. Подпишите выданные листы
– Запишите, пожалуйста, в них число классная работа.
Актуализация знаний, мотивация.
Работа со слайдами №2, №3
– Определяют загаданное слово
– Беседа о порядке
– Определяют тему урока
– Работают в парах по материалу слайда №5
Постановка и решение учебной задачи.
Рабата со слайдом №6
Физкультминутка в положении сидя.
Работа со слайдом №7
Выбирают задание по уровню сложности и выполняют его самостоятельно
Постановка домашнего задания.
Исследовательская работа М атематика в музыке Математика ученица 9б класса Руководитель: Сергеева Вилора Вячеславовна, учитель надомного обучения ГБОУ школы-интерната № 1 им. К.К. Грота
Музыка — арифметика звуков, подобно тому, как оптика — геометрия света. Клод Дебюсси Музыка есть бессознательное упражнение души в арифметике. Готфрид Вильгельм Лейбниц
Из истории установления связи между музыкой и математикой Опыты Пифагора. Монохорд Отношения и пропорции в музыке Опыты Хладни Музыка и геометрические формы
ГИПОТЕЗА: С помощью простых приспособлений, изготовленных в домашних условиях, можно воспроизвести исследования Пифагора и Хладни , демонстрирующие проявление математических закономерностей в музыке. Объект исследования: элементы математического языка: звуки и созвучия (интервалы). Предмет исследования: зависимость между созвучием и пропорциональным делением струны на части; характеристики фигур Хладни . Методы исследования : поисковый метод: работа с источниками информации; сравнительно-экспериментальный метод: разработка эксперимента и демонстрация опыта; практический метод: проведение математических преобразований и вычислений.
Цель исследования: теоретическое описание и опытное подтверждение связей между элементами музыкального языка (звуки и интервалы), количественными отношениями и пространственными формами. Задачи: Найти информацию о связи между музыкой и математикой. Изучить и описать доступные способы доказательства связи между музыкой и математикой. Изготовить необходимое оборудование. Провести практические исследования. На основе изучения информации и проведенных практических исследований сделать выводы, проиллюстрировать их опытами.
ГИПОТЕЗА Из вечности музыка вдруг раздалась, И в бесконечность она полилась, И хаос она на пути захватила, — И в бездне, как вихрь, закружились светила: Певучей струной каждый луч их дрожит, И жизнь, пробужденная этою дрожью. Лишь только тому и не кажется ложью, Кто слышит порой эту музыку божью. Кто разумом светел, в ком сердце горит. 1885 г. Яков Полонский
Законы целочисленных отношений и пропорций в консонансах Приятные слуху созвучия – КОНСОНАНСЫ– звучат лишь тогда, когда длины струн относятся как целые числа, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. Длина струны, звучащая в кварту с основным тоном, есть СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ между длинами струн, дающими основной тон и октаву. Длина струны, звучащая в квинту с основным тоном, есть СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ между длинами струн, дающими основной тон и октаву. М УЗЫКАЛЬНАЯ ПРОПОРЦИЯ: отношение длины струны, звучащей в кварту к длине струны основного тона равно отношению длины струны, звучащей в октаву к длине струны, звучащей в квинту
Математические характеристики натурального мажорного строя 8/9 – интервальный коэффициент; Ряд относительных длин струн мажорного лада: ДО – 1; Ре – 8/9 ; Ми – 64/81 ; Фа – 3/4 ; СОЛЬ –2/3; ЛЯ – 16/27 ; СИ – 128/243; ДО – 1/2.
Результаты изготовлено оборудование и проведены практические исследования, демонстрирующие проявление математических, арифметических и геометрических закономерностей в музыке; на основе измерений составлены и вычислены числовые отношения и пропорции музыкальных созвучий; на основе опыта вычислен интервальный коэффициент и составлен ряд относительных длин струн лидийского (мажорного) лада. сделаны выводы о характере форм фигур Хладни в зависимости от звука.
*** Вещи уснули. В молчании сна Песня, живущая в них, не слышна. Если отыщешь заветное слово, Мир нам в звучании откроется снова. Й. Эйхендорф (1788 – 1857) (пер. М. Гиверц )
Источники информации Болл Дж. Математика на ладони. – М.:КоЛибри , Азбука-Аттикус,2021. – 512с. Волошинов А. В. Математика и искусство.– М.: Просвещение, 2000. – 399с. Газарян С. В мире музыкальных инструментов. – М.:Просвещение,1989. – 192с. https://coollib.com/b/330281-haver-arbones-tom-12-chisla-osnova-garmonii-muzyika-i-matematika/read#t1%20https://www.classicalmusicnews.ru/articles/muzyika-i-matematika-first/ https://culturolog.ru/content/view/3025/35/
Спасибо за внимание !
Проект по математике «Четыре действия математики» Выполнил: Кириллов Родион 5 «Б» класс Руководитель: Первушкина Ирина Михайловна
Цель : Изучить возникновение и области применения четырех математических действий. Задачи: Изучение литературы по данной теме Описать возникновение действия и знака сложения Описать возникновение действия и знака вычитания Описать возникновение действия и знака умножения Описать возникновение действия и знака деления Описать области практического применения основных математических действий Провести тест-опрос среди родственников разных профессий
Действие «сложение» С глубокой древности люди вели счёт предметов, возникла необходимость результат счета каким –либо образом фиксировать. Пальцы человека – первый счетный прибор и первая вычислительная машина. Ф иксация результатов счета производилась различными способами : нанесение насечек, с помощью счетных палочек, узелков и др. В Древней Индии нашли способ сложения чисел в письменном виде. Они записывали числа в столбик – одно под другим; ответ записывали ниже. З аписывали числа палочкой на песке, насыпанном на специальную доску . В древнем Китае сложение производилось на доске с помощью специальных палочек .
Возникновение знака «+» В 15 – 16 веках для знака сложения использовали латинскую букву «P», начальную букву слова плюс. Для сложения также употреблялось латинское слово « et » ( эт ) , обозначающее «И», что значит «больше». Так как слово « et » приходилось писать очень часто, то его стали сокращать: писали сначала одну букву «t», которая постепенно превратилось в знак « +». Впервые знак «+» в печати появляется в книге «Быстрый и красивый счёт для купечества». Её написал чешский математик Видман в 1489 году .
Действие вычитание Индийский способ вычитания : отсчитывание от уменьшаемого по одному , пока не получится вычитаемое. Например, 7-3 считали: «Семь без одного — шесть, семь без двух — пять, семь без трех — четыре, следовательно , 7-3= 4 ». Австрийский способ вычитания : прибавлении к вычитаемому такого числа, которое в сумме с вычитаемым даст уменьшаемое. Н апример , считали: «7-3: три прибавить один — четыре, три прибавить два — пять, три прибавить три — шесть, три прибавить четыре — семь. Следовательно, 7-3 = 4, так как, прибавив к трем четыре , получаем уменьшаемое — семь». Индийские математики вычитание больших чисел выполняли начиная с наивысшего разряда. А рабские математики , используя индийский метод, стали начинать действие с низших разрядов, т. е. разработали новый способ вычитания , сходный с современным .
Возникновение знака «-» Первое использование знака «-» относится к немецкой рукописи по алгебре 1481 г. В 1489 году Видман издал в Лейпциге первую печатную книгу «Коммерческая арифметика», в которой присутствовали оба знака. Тот факт, что Видман использовал эти символы как если бы они были общеизвестны, указывает на возможность их происхождения из торговли.
Первое использование знаков «+» и «-» в печати
Действие «умножение» Умножение — это особый ( частный ) случай сложения нескольких одинаковых чисел. Умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения . Например, чтобы умножить 13 на 9, они составляли запись , подобную следующей : 1-13, 2-26, 4-52, 8-104 Далее из левого столбика выбирали числа, дающие в сумме нужный множитель (1+8=9) и складывали числа из правого столбика (13 +104=117), это и было произведение. Этот способ применялся долгое время в разных странах. В нашей стране получил название «крестьянский способ умножения». В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами— « предками » современных таблиц умножения Индийцы производили умножение чисел начиная с высших разрядов . Индийский способ перешел к арабам, а от них в Европу. Только в XV в. европейские математики стали начинать умножение с низших раз рядов .
Возникновение знака «х» и «·» Для обозначения действия умножения в XVI в. употребляли букву m , которая была начальной в латинском слове, обозначавшем увеличение, умножение, — мультипликация . В XVII в. некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком — х , а некоторые употребляли точку. Только в конце XVIII в. большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста.
Действие деление В Древнем Египте деление чисел выполняли способом делением на два с последующим сложением отобранных чисел. Например, чтобы разделить 112 на 4 , египетские математики поступали так: 1-4, 2-8, 4-16, 8-32, 16-64 Из правого столбика выбираем числа, дающие в сумме делимое (16+32+64=112) и складываем числа из левого столбика (4+8+16=28)- это результат деления. Т.е.112:4=28 Математики Индии изобрели способ «деление вверх». Они записывали делитель под делимым, а все промежуточные вычисления — вверху над делимым . Этот способ переняли арабы. Недостатком этого способа была его громоздкость и непонятность для многих. Поэтому ,человеку, усвоившему деление давали звание «доктор абака». Способ деления, близкий к современному , впервые появился в итальянской рукописи 1460 г . Результат деления в продолжение нескольких столетий называли сумма . В России названия делимое., делитель, частное впервые ввел Л. Ф. Магницкий в начале XVIII в.
Возникновение знака «:» На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком — его просто называли и записывали словом. Знак двоеточия «:» для обозначения деления начали употреблять в конце XVII в.
Математические действия в повседневной жизни и быту Ч асто мы не замечаем, что используем четыре основных действия математики каждый день, везде за чтобы мы не взялись. Р аспорядок дня, не что иное как определение времени и его планирование в течение дня при помощи математических вычислений . Расписание уроков в школе – это тоже распределение времени с помощью вычислений. В магазине нам постоянно приходится производить математические расчеты, совершая покупки. Каждый день мы готовим пищу, используя расчеты при закладке продуктов. Если мы соберемся делать ремонт , то тут нам точно не обойтись без вычислений. От точности которых будет зависеть ровные ли у нас получатся стены и потолки, а также хватит ли нам обоев, чтобы оклеить комнату и плитки, чтобы положить на пол в ванной комнате. Это малая часть примеров применения основных математических действий в повседневной жизни.
Заключение Подводя итоги работы, можно сказать , что поставленная цель проекта достигнута. Во время выполнения работы изучено возникновение четырех математических действий, появление знаков, обозначающих данные действия, методы и способы, которые применялись для вычислений. Проведя опрос , я понял, что математические действия это инструмент в повседневной жизни. Современная жизнь при отсутствии вычислений невозможна. Использование вычислений можно увидеть везде.
Список литературы: Аксенова М. Д. – Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Главный ред. М.Д. Аксенова – М. Аванта , 1998. Белошистая А. В. Формирование и развитие математических способностей школьников: Вопросы теории и практики-М.: Гуманитарий изд. Центр ВЛАДОС, 2003-400 с: ил. Депман И. Я, Н. Я. Виленкин За страницами учебника математики, Москва “Просвещение” 1994. Электронные ресурсы
История исследования
ИСТОРИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
Учёные много раз пытались представить музыку
, как математическую модель. Примеры работ:
Леонард Эйлер
«Диссертация о звуке»
Рене Декарт
«Трактат о музыке»
2) Симметрия.
При написании музыки
некоторые композиторы в определённых
направлениях используют
математику. Композиторы производят и
используют математические расчёты для того,
чтобы музыка получилась мелодичной и
симметричной. Что это значит? Возьмём, к
примеру, трёхчастную форму написания ( 1-23) Трёхчастная форма – музыкальная форма,
состоящая из трёх разделов: крайние(1-й и 3й) совершенно одинаковы или сходны (3-й
раздел трёхчастной формы называется
репризой, т.е. повтором), средний отличается
от них и часто бывает резко контрастным. Это
позволяет сделать музыкальное произведение
красивым, гармоничным и мелодичным.
Задачи
ЗАДАЧИ
1)Выяснить были ли попытки связать эти
понятия
2)Установить связь между нотами и цифрами
3)Переложить числа на ноты
Переложения чисел в ноты
ПЕРЕЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ В НОТЫ
В мире музыки недавно появилось видео , где
пианист переложил число Пи на музыку , я
решила провести свой эксперимент с неполным
числом Пи , а только его частью, и переложить
его на ноты и сыграть на скрипке
Для этого я взяла ноты минорной гаммы и
пронумеровала ноты: 0-соль# , 1- ля, 2-си, 3 –до,
4 – ре , 5- ми , 6- фа , 7-соль#, 8-ля, 9-си.
3,1415926535 8979323846 – я взяла эту часть и
записала в виде нот. Получилась мелодия : до ,
ля(второй октавы),ре,ля(второй
октавы),ми,си(третей октавы),си(второй
октавы),фа,ми,до,ми,ля(третей
октавы),си,соль#,си,до,си,до,ля,ре,фа.
Четыре действия математики
МБОУ “Гимназия №3” г. Белгорода
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF
Актуальность темы исследования. Специфика математических объектов заключается в том, что они создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Роль математики в современной науке постоянно растет. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы не возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Проект «Четыре действия математики» направлен на изучение четырех арифметических операций математики. В связи с тем, что наша повседневная жизнь состоит из постоянных мелких подсчётов: скидки в магазине, расчёт сдачи и времени до посадки на самолёт. Но случаются ситуации, когда не получается запустить приложение «Калькулятор». В нашем проекте мы раскроем секреты быстрого вычисления на основе четырех действий математики.
В математике известно шесть арифметических действий, но мы знакомы пока только с четырьмя: сложением, вычитание, умножением, делением. Если взять числа и соединить их арифметическими действиями, то получится числовое выражение. Решить числовое выражение – это значит найти значение числового выражения. Числовые выражения могут быть разными, они могут содержать разное количество действий: одно, два, три и больше. Могут иметь скобки, а могут быть без скобок. Могут использовать одинаковые арифметические действия, а могут – разные. Помним, что существует особый порядок действий, который нужно обязательно соблюдать, если хотим получить правильное значение выражения.
Мы заинтересовались этой проблемой и выдвинули гипотезу: математические операции в нашей жизни необходимы и важны не только при изучении определенных математических тем, но и в повседневной жизни.
Цель исследования – рассмотреть теоретические подходы к изучению четырех действий математики и апробировать на практики математические формулы.
Задачи исследования: рассмотреть исторические аспекты становления и развития операций подсчёта, измерения и описания формы объектов; проанализировать структуру истории математики; определить роль символических обозначений в математике и предложить комплексное применение математических знаний на основе четырех действий математики в повседневной жизни.
Объект исследования – четыре действия математики.
Предмет исследования – процесс быстрого вычисления на основе четырех действий математики.
Наша работа является теоретическим исследованием, но присутствует и прикладной характер. Мы показываем, что как в повседневной ситуации можно быстро произвести математические действия, владея определенными технологиями.
теоретические:библиографический, анализ, синтез;
эмпирические: наблюдение, логические обобщения, беседа.
. Подготовительный этап:
Выбор темы, формулирование целей проекта.
Постановка задач, установление сроков выполнения проекта.
Определение методов исследования, поиска информации, творческих решений.
Подбор основных источников информации
Изучение литературы по выбранной теме.
Сбор информации по теме и систематизация собранного материала для создания презентации.
Оформление результатов работы.
Защита проекта в форме творческого отчета на уроке математике и проведение занимательной викторины.
Подведение итогов и обозначение новых проблем для дальнейшего исследования.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ заключается в детальном изучении арифметических операций:
сложение – бинарная операция, например, 2+7=9;
вычитание – обратная сложению операция, например, 9–7= 2;
умножение – гипероперация сложения, например, 2 * 3 = 6;
деление – обратная умножению операция, например, 6 : 2 =3.
Было выявлено, что сложение и вычитание являются элементарными арифметическими операциями. Все остальные, более сложные операции, получаются в результате гиперопераций, сложение и вычитание относятся к операциям первой ступени; умножение и деление – к операциям второй ступени.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ проекта обусловлена тем, что позволяет расширить математический кругозор, пополнить математические знания, научиться работать со справочной и научной литературой, приобрести навык публичного выступления с высказываем собственной точки зрения, а также применять полученные математические знания на факультативном занятии по математике в формате «Дети обучают детей», разработать и провести математическую викторину в рамках обозначенной темы (см. Приложение 2).
Мы считаем, что наша работа расширяет теоретическую базу учащихся и дает возможность на практике быстро решать определенные математические задачи без использования калькулятора, что значительно повышает интеллектуальный уровень подрастающего поколения.
Математика (др.-греч. μᾰθημᾰτικά < μάθημα «изучение; наука») – наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
атематические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке.
В любой цивилизации древнейшим из математических обозначений является нумерация чисел (запись чисел).
По способу образования чисел из базовых знаков (чисел) древние системы делятся на три типа:
Аддитивная (от лат. additio — сложение).
Субтрактивная (от лат. subtractio — вычитание)
Мультипликативная (от лат. multiplicatio — умножение
В начале развития общества, когда человеку не требовались большие числа, люди для счета обходились пальцами одной руки, потом двух, потом пальцами рук и ног. Позже все чаще возникала необходимость пересчитывать такое количество предметов, на которое пальцев не хватало. Постепенно были придуманы новые приема счета. В Африке некоторые племена до сих пор считают на камешках и орехах. Доходя до 5, складывают их отдельно в маленькую кучку. Жители островов Тихого океана ведут счет на кокосовых черепашках, откладывая маленький черешок каждый раз, как они доходят до 10, и большой, – когда доходят до 100. Прошли многие тысячи лет. Развились обмен и торговля, которые потребовали от людей новых навыков в счете, в действиях с числами. Так постепенно возникли арифметические действия.
Сложение
Люди научились считать еще в каменном веке. Числа служили для счета предметов, дней, шагов и так далее. На местах стоянок первобытных людей ученые находили кости с зарубками — так наши далекие предки фиксировали количество предметов. Но количество предметов то увеличивалось, то уменьшалось, поэтому важно было уметь складывать и вычитать. Помогал в этом нашим далеким предкам их первобытный компьютер – десять пальцев на руках. Загибал человек пальцы – складывал, разгибал – вычитал. Точно так же, как делает это каждый маленький ребенок, когда учится считать. Сотни лет люди древнего мира выполняли сложение подобным же образом, присчитывая к первому данному множеству предметов по одному предмету, взятому из второго множества, до тех пор, пока все предметы (члены) второго множества не будут исчерпаны.
Длительное время сложение чисел люди выполняли только устно с помощью каких-либо предметов – пальцев, камешков, ракушек, бобов и прочее, а позже на специальных приборах – счетной скамье, абаке, счетах.
Но с развитием цивилизации людям потребовалось изобретать все большие и большие числа. Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда.
Знания и навыки по приемам счета и вычислениям накапливались одновременно во многих странах Древнего мира: Вавилоне, Китае, Индии, Египте.
Только после того как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записывать цифрами, подобно тому как это делаем мы, индийские мудрецы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычислениях они записывали числами палочек на песке, насыпанном на специально приготовленную доску. Цифры, изображенные на песке, легко было стирать, а на их месте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.
В Древней Индии было принято записывать слагаемые в столбик – одно под другим; сумму же записывали слагаемыми, сложение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее записанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.
Индийский прием сложения позаимствовали математики Среднего и Ближнего Востока, а от них в начале 9 века он перекочевал в Европу.
В начале 15 века действие сложения стали обозначать начальной буквой слова плюс (в латинском алфавите – Р), которое означало «сложить». К концу того же века отдельные математики стали обозначать сложение знаком +, который вскоре получил всеобщее признание. Это быстрое признание нового знака произошло, видимо, потому, что его начертание напоминает сложение двух палочек.
В ычитание
В Древней Индии вычитание чисел выполняли способом отсчитывания от уменьшаемого по одному, пока не получится вычитаемое. Например, вычитая от девяти пять, считали: «Девять без одного – восемь, девять без двух – семь, девять без трех – шесть, девять без четырех – пять, девять без пяти – четыре. Все единицы вычитаемого (пять) исчерпаны, следовательно, 9 – 5 = 4».
Арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. Это было очень неудобно. Тогда арабские математики, используя тот же прием вычитания, стали начинать действие с низших разрядов, т. е. раз работали новый способ вычитания, сходный с современным. Для обозначения вычитания в III в. до н. э. в Греции использовали перевернутую греческую букву пси (Ф). Итальянские математики пользовались для обозначения вычитания буквой М, начальной в слове минус. В 16 веке для обозначения вычитания стали применять знак – . Вероятно, этот знак перешел в математику из торговли. Торговцы, отливая для продажи вино из бочек, черточкой мелом обозначали число мер проданного из бочки вина.
Умножение – это особый случай сложения нескольких одинаковых чисел. В далекие времена люди учились умножать уже при счете предметов. Так, считая по порядку числа 17, 18, 19, 20, они должны были представлять 20 не только как 10+10, но и как два десятка, то есть 2 • 10; 30 – как три десятка, то есть три раза повторить слагаемым десяток – 3 – 10 – и так далее.
У множать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения. В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения – «предками» современных. В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Индийцы производили умножение чисел, начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении. Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме. Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название «множитель» упоминается в работах 6 веке, а «множимое» – в 13 веке.
Существует множество приемов, позволяющих с помощью пальцев производить различные арифметические операции. Вот прием, позволяющий запомнить таблицу умножения на 9.
Если положить обе руки рядом, ладонями на стол и мысленно пронумеровать все пальцы обеих рук слева направо, то приподняв вверх палец, соответствующий числу, на которое требуется умножить 9 можно быстро узнать ответ. Число пальцев, расположенных слева от поднятого дает число десятков, а расположенных справа – единиц искомого результата.
В 17 веке некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком – х, а иные употребляли для этого точку. В 16-17 веках для обозначения действий применяли различные символы – единообразия в их употреблении не было. Только в конце 18 веке большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста. Знаки умножения (•, х) и знак равенства (=) стали общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).
Д еление
Два любых натуральных числа всегда можно сложить, а также умножить. Вычитание из натурального числа можно выполнить лишь тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого. Деление же без остатка выполнимо только для некоторых чисел, причем узнать, делится ли одно число на другое, трудно. Помимо того, есть числа, которые вообще нельзя разделить ни на какое число, кроме единицы. Делить на нуль нельзя. Эти особенности действия значительно усложнили путь к уяснению приемов деления.
В Древнем Египте деление чисел выполняли способом удвоения и медиации, то есть делением на два с последующим сложением отобранных чисел. Математики Индии изобрели способ «деление вверх». Они записывали делитель под делимым, а все промежуточные вычисления – вверху над делимым. При чем те цифры, которые при промежуточных вычислениях подвергались изменению, индийцы стирали и на их место писали новые. Позаимствовав этот способ, арабы в промежуточных вычислениях стали цифры перечеркивать и надписывать над ними другие. Такое нововведение значительно усложнило «деление вверх». Способ деления, близкий к современному, впервые появился в Италии в 15 веке.
На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком – его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление начальной буквой из названия этого действия. Арабы ввели для обо значения деления черту. Черту для обозначения деления от арабов перенял в 13 веке итальянский математик Фибоначчи. Он же впервые употребил термин частное. Знак двоеточия (:) для обозначения деления вошел в употребление в конце 17 веке.
Знак равенства (=) впервые введен английским учителем математики Р. Рикоррдом в 16 веке. Он пояснял: «Никакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две параллельные линии». Но еще в египетских папирусах встречается знак, который обозначал равенство двух чисел, хотя этот знак совершенно не похож на знак = .
Математика развивает логическое мышление, умение самостоятельно решать проблемы, способность быстро уловить суть и найти к жизненной задаче наиболее подходящий и простой подход.
Математика тесно связана с нашей повседневной жизнью. Математика встречается в нашей жизни практически на каждом шагу.
Ч етыре действия математики применяется практически во всех областях человеческой деятельности.
В магазине нам постоянно приходится производить математические расчеты. Например, нам необходимо купить продукты по списку, поэтому должны ориентировочно сделать расчет, сколько необходимо взять денег или сколько нам должны дать сдачи, также как правильно произвести расчет со скидкой.
П ри планировании расходов наших карманных денег, мы также ведем учет: сколько есть денег, на что их в первую очередь можно потратить или отложить на более крупную покупку.
В ходе приготовления пищи мы опираемся на рецепты. Если мы готовим на нашу семью, то знаем сколько нам надо использовать продуктов для получения того или иного блюда, но если к нам придут гости, то здесь, к всеобщему удивлению снова начинается урок математики: необходимо произвести четкий расчет, чтобы все были сыты и довольны (см. Приложение 1).
С математическими расчетами связан даже наш режим дня. Распорядок дня мы планируем в течение дня при помощи несложных математических вычислений, чтобы сделать все важные и необходимые дела – отдохнуть, сделать уроки, посетить кружки и другое.
А если затеваем ремонт, то здесь нам точно не обойтись без математики. И в данном деле потребуется произвести очень много расчетов (см. Приложение 1). От точности которых будет зависеть ровные ли у нас будут стены и потолки, а также хватит ли нам обоев, чтобы оклеить комнату и плитки, чтобы положить на пол в ванной комнате и много другое.
Т аким образом, проведя детальный анализ, мы выявили формулы, которые используем в повседневной жизни.
Таким образом, мы провели исследовательскую работу по теме «Четыре действия математики». В ходе проведения работы были рассмотрены: история развития математики, раскрыта специфика четырех действий математики, а также приведены примеры использования четырех действий математики: при расчете ремонта комнаты, при покупках, в кулинарии и др.
Исходя из проведенного исследования, можно сделать вывод о том, что четыре действия математика важны и применяются в разных сферах повседневной жизни. В работе также продемонстрирована оптимальность применения математических знаний, что находит свое отражение в решении разных практических задач. Считаем, что наша цель исследования достигнута.
Думаем, что наша работа поможет понять, что математика нужна (и особенно четыре действия математики), что она может во многом послужить на благо человека. А также происходит совершенствование умений решать текстовые задачи по математике, отработка устных и письменных вычислительных навыков, развивается память, мышление, внимание.
Арутюнян Е. Б., Левитас Г. Г. Занимательная математика. / Е. Б. Арутюнян– М.; Просвещение, 2007г.
Глейзер Г. И. История математики в школе для классов. / Г. И. Глейзер
Депман И. Я. За страницами учебника математики. / И. Я. Депман – М.; Просвещение, 2000г.
Кордемский Б. А. Великие жизни в математики. / Б. А. Кордемский
Писаревский Б. М., Харин В. Т. О математике, математиках и не только. / Б. М. Писареский – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. – 302 с.
Математическая энциклопедия : в 5 т. / гл. ред. И. М. Виноградов. – М. : Советская энциклопедия, 1977 С. 85. (Энциклопедии. Словари. Справочники).
Математика: Школьная энциклопедия. – М.; «Большая Российская энциклопедия», 2002 г.
Дизайн и ремонт комнаты
Попробуем применить четыре действия математики на практике в рамках дизайна одной комнаты квартиры, например гостиной.
Рассмотрим рисунок, на котором изображен предполагаемый результат дизайна гостиной (рис.1)
Рисунок 1. Предполагаемый дизайн комнаты
А теперь рассмотрим схему комнаты и рассчитаем размеры (рис. 2).
Рисунок 2. Схема гостиной
Так, мы имеем комнату, которая в форме прямоугольника. Ширина 4 м, а длина – 5м. Следовательно, применяя формулу расчета площади прямоугольника, получаем, что:
S= a x b = 4 x 5 = 20 м2.
Высота комнаты до потока составляет 2, 2 м.
Теперь составим список предметов, которые нужны для осуществления ремонта:
Тумба под телевизор
Картины витражные (2шт)
Подушки (6 шт)
Теперь, чтобы узнать стоимость ремонта, нужно определить количество каждого предмета и умножить на его цену. Результаты можно увидеть в таблице:
Таблица 1. Расчет стоимости ремонта
Расчет можно производить следующим образом:
Стоимость предмета = цена х кол-во
Так, если для ремонта нам необходимо 5 рулонов обоев, которые стоят 800 р. за рулон, то:
Стоимость обоев = 5 х 800 = 4000 (руб).
И так далее по каждому показателю. Чтобы рассчитать стоимость ремонта, нам нужно суммировать стоимости всех предметов:
Итого для ремонта гостиной по данному дизайну комнаты, нам потребуется приблизительно 184 500 рублей.
Таким образом, применяя знания, мы можем применить математику для такой бытовой ситуации как ремонт комнаты в квартире по определенному дизайну.
Математика в быту – проценты
В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в экономике, ни в торговле, ни в статистике. Чтобы создать лекарственный препарат тоже надо знать проценты. Проценты настолько широко входят в нашу жизнь, они становятся особым языком общения, который надо учить, знать и понимать.
Символ % появился не сразу. В 1685г. в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике », где по ошибке вместо «сто» было набрано %. После этого знак % получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком процента.
Решая задачи, мы обратили внимание, что часто встречаются задачи с прикладным применением в быту и повседневной жизни. Приведем некоторые примеры таких задач и решим их.
Задача 1. Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% – деньги, заработанные папой, а 30% – деньги, заработанные мамой. Сколько денег заработал каждый?
Найдем 70 и 30 процентов от 75 тыс. рублей. Так мы определим сколько денег заработал каждый. Для удобства 70% и 30% запишем в виде десятичных дробей
75 × 0,70 = 52,5 (тыс. руб. заработал папа)
75 × 0,30 = 22,5 (тыс. руб. заработала мама)
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Ответ: 52,5 тыс. руб. заработал папа, 22,5 руб. заработала мама.
Задача 2. Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько получится сушенных яблок из 300 кг свежих?
Найдем 84% от 300 кг
300 : 100 × 84 = 252 кг
300 кг свежих яблок в результате сушки потеряют 252 кг своей массы. Чтобы ответить на вопрос сколько получится сушенных яблок, нужно из 300 вычесть 252
300 − 252 = 48 кг
Ответ: из 300 кг свежих яблок получится 48 кг сушенных.
Задача 3. Купил человек продукты. Молоко стоит 60 рублей, что составляет 48% от стоимости всех покупок. Определить общую сумму денег, потраченных на продукты.
Это задача на нахождение числа по его проценту, то есть по его известной части. Такую задачу можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы выразить известное число процентов в виде десятичной дроби и найти неизвестное число по этой дроби.
Выразим 48% в виде десятичной дроби
48% : 100 = 0,48
Зная, что 0,48 составляет 60 рублей, мы можем определить сумму всех покупок. Для этого нужно найти неизвестное число по десятичной дроби:
60 : 0,48 = 125 рублей
Значит, общая сумма денег, затраченных на продукты составляет 125 рублей.
Второй способ заключается в том, чтобы сначала узнать сколько денег приходится на один процент, затем полученный результат умножить на 100
48% это 60 рублей. Если мы разделим 60 рублей на 48, то узнаем сколько рублей приходится на 1%
60 : 48% = 1,25 рублей
На 1% приходится 1,25 рублей. Всего процентов 100. Если мы умножим 1,25 рублей на 100, получим общую сумму денег, затраченных на продукты
1,25 × 100 = 125 рублей
Ответ: общая сумма денег, потраченных на продукты составила 125 рублей.
Математика в кулинарии
Опираясь на результаты практического исследования, мы выявили, что все четыре действия математики активно применяются практически во всех областях человеческой деятельности.
Мы решили узнать, как используются математические знания в кулинарии.
Математика в кулинарии имеет большое значение, так как для приготовления любого блюда должен соблюдаться рецепт. В рецепте указывается точное соотношение продуктов, которое необходимо соблюдать в процессе приготовления. При взвешивании продуктов в кулинарии используются математические величины-масса и объём. Ими тоже необходимо уметь пользоваться. Единицы времени играют далеко не последнюю роль в приготовлении блюд. Приготовленные блюда нужно умело делить на порции, в чём нам опять же поможет математика.
Подсчет потребляемых калорий также надо уметь произвести. При подсчете калорийности готовых блюд учитываются её изменения при различных видах кулинарной обработки: варка, жарка, тушение, кипячение и др. Учитывается в обязательном порядке потеря белков, жиров, углеводов, витаминов и минералов при обработке и даже при нарезке продуктов. Учитывается потеря массы готового блюда и использование воды при приготовлении. Истинный повар должен обладать хорошей памятью, уметь быстро считать, и знать основные математические понятия: пропорция, проценты, уравнение.
В ходе работы и анализе приготовления различных блюд, мы выяснили, что для того чтобы пользоваться кулинарными рецептами и производить перерасчёт продуктов по ним, требуется знать, что такое отношение, пропорциональность. Нам предложили взять самое простое блюдо и решить вот такую задачу: для приготовления омлета берем 2 яйца, 20 г. молока, 20 г. сливочного масла. Какое количество продуктов необходимо, чтобы приготовить омлет из 5 яиц.
5 : 2 = 2,5 т.е. количество продуктов увеличивается в 2,5 раза. 20*2,5=50г. молока, и, соответственно, 50 г. сливочного масла.
Также в кулинарии нужно уметь рассчитывать экономические затраты на приготовление блюда.
Например, расчёт стоимости продуктов, необходимых для приготовления пирога «Шарлотка».
Чтобы приготовить продукты, которые в несколько раз больше привычных, следует так же соблюдать пропорции, чтобы вкус соответствовал красоте и обычному вкусу продукта. И мы нашли на электронных ресурсах интересные факты:
– самая длинная шоколадка, которая была изготовлена, в длину составляла 15 метров, а весила 7 килограммов;
– американским поваров итальянского ресторана Мэтью Митницки была приготовлена самая большая фрикаделька, которая весила 101 килограмм;
– самая длинная колбаса – в 530 метров была сделана в Хорватии;
– огромной пиццей, длина которой составляет 123 сантиметра, смогли накормить порядка 100 человек;
– самый длинный хот-дог 60,3 м сделан в Японии.
Математическая викторина для учащихся 5 класса
Формируются две команды из учащихся классов, выбираются названия команд и капитаны.
Этап 1. « Разминка»
Из букв слова «арифметика» составить как можно больше слов. Капитаны зачитывают слова. Каждое слово -1балл.
Этап 2. « Блиц – турнир»
Верный ответ оценивается в 2 балла.
1. 5 стогов сена и 7 стогов свезли в одно место. Сколько стогов получилось?
2. За книгу заплатили 35 рублей и ещё половину стоимости. Сколько заплатили за книгу?
3. Какими нотами можно измерить расстояние?
4. Тройка лошадей бежит со скоростью 45 км/ч. С какой скоростью бежит каждая лошадь?
5. Если из одной стопки тетрадей переложить в другую 10 штук, то станет поровну. На сколько тетрадей в одной стопке больше, чем в другой?
6. Лена произнесла предложение, которое являлось верным. Коля его повторил, но оно уже было неверным. Какое это предложение?
7. 3 курицы за 3дня снесут 3 яйца. Сколько яиц снесут 9 кур за 9 дней?
Этап 3. « Математические ребусы»
Каждое задание оценивается в 3 балла.
1. Отгадайте шараду.
Две трети от леща, одна треть от беркута, одна треть от лошади.
2. Весёлые цифры.
Поставьте арифметические знаки так, чтобы получились верные равенства.
7 7 7 7 = 1
7 7 7 7 = 2
7 7 7 7 = 3
7 7 7 7 = 4
Этап 4. « Знатоки»
Каждое задание оценивается в 4 балла.
Каждой команде игроков выдаётся лист с заданиями. Команда совещается и сдает ответы, записанные на отдельных листах.
1. В доме 100 квартир. Номера каких квартир можно приклеить «вверх ногами» и они не изменятся? ( Ответ 8; 88; 96; 69)
2. Сколько различных чисел можно запасать цифрами 2;3;7, используя каждую в числе один раз? (Ответ 6)
3. К числу 77 справа приписали 0? На сколько увеличилось число? (Ответ 693)
4. Если в бутыль, на три четверти заполненную водой, долить 2 литра, то она будет полная. Сколько литров в бутыли? (Ответ 8)
5. Какой цифрой заканчивается произведение всех нечётных двузначных чисел? (Ответ 5)
6. Во сколько раз путь на 16-й этаж больше пути на 4-й этаж? (Ответ 5)
Этап 5. « Знатоки»
Каждое задание оценивается в 5 баллов.
Задание проецируется на экран или записывается на доске.
1. Изображение куба с числом 8 + изображение квадрата с числом 8+ число 8. ( Ответ 440)
2. Лента непостоянной ширины горит ровно 1 час? Как отмерить полчаса?
(Ответ поджечь с двух концов)
Этап 6. Подведение итогов всех этапов
Проект «Математика и музыка»
ПРОЕКТ «МАТЕМАТИКА И
МУЗЫКА»
Выполнила : ученица 9-А класса
Клугино –Башкировской ООШ I-III ст
Таненя Виктория
“Моей конечной целью в этом труде было то, что я
стремился представить музыку как часть
математики и вывести в надлежащем порядке
из правильных оснований все, что может
сделать приятным объединение и смешивание
звуков” – говорил Эйлер.
Вывод: в ходе исследования я нашла
подтверждение тому что этот вопрос изучался
неоднократно с давних времён.
3)Открытия Пифагора. Суть это открытия состоит
в том, что сочетание звуков, издаваемых
струнами, наиболее благозвучно, если длины
струн музыкального инструмента находятся в
правильном численном отношении друг к
другу.
Для воплощения своего открытия Пифагор
использовал монохорд – полуинструмент,
полуприбор. Под струной на верхней крышке
ученый начертил шкалу, с помощью которой
можно было делить струну на части. Не зная
математических понятий, не умея различать
дроби, не умея сравнивать их, невозможно было
бы сыграть музыкальный фрагмент. Именно
здесь мы сталкиваемся с математической
операцией сравнения.
С понятием последовательность в математике
мы встречаемся крайне часто. Все музыкальные
произведения тоже записываются нотами в
определенной музыкальной
последовательности.
.
Ссылки и литература
ССЫЛКИ И ЛИТЕРАТУРА
Литература:
1) В. П. Ковалев “Математика в музыке”.
Выступление на семинаре в Московском
физико-техническом институте в секции
математических основ жизнеустройства, 2007
2) Шарапкина Е. П. Гармония математики и
музыки/П. Е. Шарапкина.//Университетские
чтения 2006г.
Интернет ресурсы:
1)http://ru.wikibooks.org/wiki
2) http://www.stonot.ru/
3) http://www.wikipedia.org/
Выводы
ВЫВОДЫ
В ходе работы я узнала людей которые
занимались этим вопросом.
Обнаружила 3 пункта связи математики и
музыки(их больше , но я выделила главные)
Попробовала на практике переложение чисел в
ноты , использую часть числа Пи