У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения).
Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
Основные числовые множества
Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение:
Схематическая иллюстрация факторизации числа 525.
Факториза́цией натурального числа называется его разложение в произведение простых множителей. Существование и единственность (с точностью до порядка следования множителей) такого разложения следует из основной теоремы арифметики.
В отличие от задачи распознавания простоты числа, факторизация предположительно является вычислительно сложной задачей. В настоящее время неизвестно, существует ли эффективный не квантовый алгоритм факторизации целых чисел. Однако доказательства того, что не существует решения этой задачи за полиномиальное время, также нет.
Предположение о том, что для больших чисел задача факторизации является вычислительно сложной, лежит в основе широко используемых алгоритмов (например, RSA). Многие области математики и информатики находят применение в решении этой задачи. Среди них: эллиптические кривые, алгебраическая теория чисел и квантовые вычисления.
Эта карта расширения использует аппаратный генератор случайных чисел для создания криптографических ключей для шифрования данных, передаваемых по сети.
Аппара́тный генера́тор случа́йных чи́сел (генератор истинно случайных чисел) — устройство, которое генерирует последовательность случайных чисел на основе измеряемых, хаотически изменяющихся параметров протекающего физического процесса. Работа таких устройств часто основана на использовании надёжных источников энтропии, таких, как тепловой шум, дробовой шум, фотоэлектрический эффект, квантовые явления и т. д. Эти процессы в теории абсолютно непредсказуемы, на практике же получаемые из них случайные числа проверяются с помощью специальных статистических тестов.
Аппаратные генераторы случайных чисел главным образом применяются для проведения статистических испытаний и в криптографии, где они используются для создания криптографических ключей для зашифрованной передачи данных. Также такие устройства широко используются в интернет-казино для имитации, например, рулетки. Но из-за сложности реализации и относительной медленности использование подобных генераторов зависит от потребностей конкретной предметной области и от устройства самого генератора.
Понятие дискретного производства пришло в Россию извне, поэтому и представления о нем различны. Не вдаваясь в детали, дискретное производство можно определить как производство по сборке конечного изделия, основанное на иерархическом описании состава этого
Согласно классификации, предложенной Gartner Group, все многообразие производств можно свести к трем основным типам: проектное, дискретное и процессное. Проектное производство — это уникальное разовое производство (например, ракетостроение, судостроение), технология которого заранее не задана. Дискретное производство включает транспортное машиностроение, производство электроники и компьютеров, электро- и промышленного оборудования, медицинского оборудования и др., включая мебельное производство и т.п. К процессным производствам относятся фармацевтика, химическая, нефте- и угледобывающая отрасли, легкая промышленность, а также металлургическая, деревообрабатывающая, горно-обогатительная, бумажная промышленности и производство товаров потребления. Для российских предприятий характерны комбинации типов производств, порой в компании присутствуют все три. В этом существенное отличие российских компаний: в то время как за рубежом производство полуфабрикатов и деталей принято отдавать на аутсорсинг, у нас предприятия часто ведут полный производственный цикл.
В дискретных производствах Gartner выделяет несколько существенно различных видов организации производства. При изготовлении на склад (Make-To-Stock, MTS) объем производства планируется исходя из «оптимальной» загрузки производственных мощностей, причем предполагается, что вся произведенная продукция найдет сбыт. При изготовлении на заказ (Make-To-Order, MTO) объем выпуска планируется исходя из поступивших заказов на продукцию, причем различают разработку на заказ (Engineering-To-Order, ETO), начиная с проектирования заказанного изделия, разработки конструкторской и технологической документации, и сборку на заказ (Assembling-To-Order, ATO), при которой используется уже имеющаяся на предприятии конструкторская и технологическая документация на различные узлы, однако допускается небольшая вариабельность состава изделия в зависимости от заказа клиента (при этом предполагается, что все исходные компоненты имеются на складе).
В российской практике встречается и несколько иная классификация. Считается, что дискретный тип производства включает три широкие категории: поточное (массовое) производство — изготовление в больших количествах одной и той же детали или продукта (например, при производстве пуговиц или автомобилей); мелкосерийное производство — изготовление партиями от нескольких сотен до нескольких тысяч изделий ежегодно (скажем, микроскопов или охотничьих ружей) и заказное, или штучное производство — изготовление от одного-двух до нескольких сотен изделий (например, реакторов или крупных гидравлических турбин). Поточное производство характеризуется предопределенной последовательностью операций, тщательно разработанных с целью обеспечить минимальную себестоимость при приемлемом качестве; эти операции требуют более специализированного оборудования и легче автоматизируются. Мелкосерийное и штучное производства имеют прерывистый характер, не придерживаются какой-либо жесткой, неизменной последовательности операций, используют универсальное оборудование, занимают гораздо более длительное время, имеют более высокую себестоимость и меньше поддаются автоматизации.
В целом российские предприятия дискретного производства представляют собой довольно пеструю картину: на рынке присутствуют как крупные, так и средние предприятия, среди которых есть и территориально распределенные, и компактно расположенные. Некоторые эксперты отмечают в последнее время тенденцию к глобализации производства и продаж.
Рыночная ситуация в подотраслях складывается по-разному. Например, по данным Росстата, если в 2005 году рост объемов производства компаний составлял в среднем 3—3,8%, в 2006 году по различным подотраслям темпы роста колебались от 103 до 113%, то в прошедшем 2007 году объемы производства увеличились от 9,5—13% в автотранспортном машиностроении до 33% при производстве тракторов и 17—34% в производстве подвижного состава для железных дорог. Наибольший темп роста показал сектор производства средств вычислительной техники и запасных частей к ней — 44%. В этих сегментах наблюдается интенсивное развитие и рост, рынок недостаточно насыщен, конкуренция не слишком велика (в том числе и потому, что производство имеет довольно длительный цикл, большую маржу). На фоне этого роста следует отметить падение в среднем на 4% объемов производства промышленного оборудования, приборов и запчастей, за исключением оборудования, потребляемого энергетикой. Объемы производства медицинской техники и запчастей к ней выросли незначительно — на 5,7 %, что не выходит за рамки инфляции. Более того, если учесть инфляцию, которая, по официальным данным, составила в 2007 году 11,9%, то достигнутые в большинстве отраслей результаты покажутся более чем скромными, тем более что индекс цен производителей промышленных товаров составил 125,1%, а тарифов на перевозки — 116,7%.
Предприятия различаются по характеру производства, экономическим условиям, степени владения рыночной ситуацией. Все эти обстоятельства в значительной степени определяют стратегию информатизации, технологии и средства, вкладываемые в ИТ.
Согласно прогнозам IDC, ИТ-расходы на европейских предприятиях с дискретным типом производства в период до 2009 года в среднем будут расти на 3—4% ежегодно. Это обусловлено, главным образом, ожидаемыми инвестициями предприятий этого сектора в программное обеспечение. Что касается аппаратных средств, то расходы на них, скорее всего, останутся на прежнем уровне. Расходы предприятий на ИТ-услуги будут незначительно возрастать. Согласно Gartner, рост инвестиций западноевропейских компаний в ИТ в 2007—2010 годах будет продолжаться со средней скоростью 4,3% и наибольший интерес для поставщиков будет представлять сектор производственных компаний, аккумулирующий 22% рынка, а особенно — дискретное производство.
На мировом рынке лидерами по объему ИТ-затрат среди предприятий дискретного производства, по оценкам Gartner, являются производство электроники и компьютеров и транспортное машиностроение. При этом основные затраты в дискретном производстве приходятся на внешние ИТ-услуги (такие, как консалтинг и сопровождение оборудования и ПО) и телекоммуникационные услуги. Ситуация в России отличается незначительно. К лидерам по расходам на ИТ, по классификации Gartner, относятся транспортное машиностроение, производство электроники и компьютеров и производство промышленного и электрооборудования, причем почти половина всех расходов приходится на телекоммуникации (оборудование и услуги).
Необходимость автоматизации всех этапов проектирования, подготовки производства и выпуска продукции осознает сейчас подавляющее большинство руководителей отечественных промышленных предприятий. По мнению представителей различных компаний дискретного производства, положение на рынке в обозримом будущем не ухудшится и следует ожидать роста инвестиций в ИТ, которые бы позволили обеспечить производителям конкурентные преимущества. Далеко не все предприятия испытывают существенную зависимость от ИТ, однако их представители отмечают, что для нормального функционирования необходимы качественная инфраструктура (оборудование, сети, системы хранения и т.д.) и программное обеспечение по основным стандартным областям: бухучет, САПР, АСУТП, планирование производства и снабжения и т.п. Существенную отдачу можно получить от систем календарного планирования производства и снабжения, учитывающих производственные мощности. Около половины проектов, реализуемых предприятиями в последнее время, составляют проекты внедрения ERP-систем и систем контроля и подготовки производства. За рубежом основными решениями для машиностроения являются системы классов CRM, SCM и PLM.
Среди поставщиков решений для дискретного производства наиболее часто представители предприятий упоминают компании Microsoft, Oracle, SAP, SSA Global, EMC, Infor, Epicor, «1С», «Галактика», а также «Аскон», Autodesk, Cadence, Corel, Dassault Systеmes, Mentor Graphics, UGS.
Наибольшие конкурентные преимущества дает интеграция существующих систем на разных уровнях или внедрение комплексных систем, которые позволили бы отказаться от лоскутной автоматизации. Создание за счет интеграции единой информационной среды позволяет обеспечить непрерывную поддержку жизненного цикла продукции, поддержку процессов принятия управленческих решений (интеграция ERP-системы с инженерно-конструкторскими комплексами CAD/CAM/CAE/PLM/PDM). Принятие управленческих решений требует комплексного понимания всех деталей финансового положения предприятия, представления адекватной картины процессов, в соответствии с которой можно планировать сокращение производственных затрат и повышение эффективности использования ресурсов.
Стремление к интеграции подтверждается и исследованиями компании Gartner, которая полагает, что предприятия с большим вниманием будут искать отдачу от предыдущих инвестиций в системы разного уровня. В ближайшем будущем, по оценкам Gartner, промышленные предприятия будут проявлять интерес к решениям для управления исполнением производственных заказов (Manufacturing Execution System, MES), все более значимую роль в их работе будут играть решения для управления жизненным циклом изделий (Product Lifecycle Management, PLM). Предприятия, скорее всего, будут чаще прибегать к аутсорсингу ИТ- и бизнес-процессов, активнее использовать технологии радиочастотной идентификации (Radio Frequency Identification, RFID) и внедрять решения в области получения информации от розничных партнеров в режиме реального времени.
Для управления затратами и, как следствие, снижения себестоимости изделия используются PLM-системы. Продукты этого класса отвечают потребностям предприятий, имеющих сложный, длительный производственный процесс, который требует проектного способа управления, так как в основе PLM-решения лежит система управления проектами, аккумулирующая все основные данные, отражающие ход хозяйственных процессов. Однако пока на отечественных машиностроительных заводах PLM-решения внедряются фрагментарно — востребованы в основном такие их модули, как управление проектами, ведение электронных архивов, стыковка с CAD-системами.
Программные продукты, поддерживающие компьютерное проектирование (CAD/CAM/PDM), развиваются достаточно активно, несмотря на то, что спрос на них начал снижаться, так как на большинстве производственных предприятий они уже внедрены.
Представители российских компаний, уже реализовавших базовый функционал, наиболее перспективными направлениями считают интеграцию, автоматизацию управления документооборотом, управления персоналом, а также внедрение Web-технологий.
Компаниями движет и необходимость превращения ИТ-департаментов из центров затрат в стратегический актив. Сами ИТ-департаменты стремятся привести свою компетенцию в соответствие нуждам внутренних пользователей со стороны бизнеса. В противном случае отдельные направления ИТ будут передаваться на аутсорсинг.
Профессор биофизики Шноль Симон Эльевич обнаружил в исследованиях 1985—2002 годов закономерное изменение тонкой структуры статистических распределений, отражающих результаты измерений, получаемых при изучении процессов различной природы. Показал, что форма соответствующих гистограмм в одно и то же местное время с высокой вероятностью сходна при измерениях процессов разной природы в разных географических пунктах и что она изменяется с периодом, равным звёздным суткам (23 час. 56 мин.), из чего сделал вывод о фундаментальной космофизической природе этого явления.
Кватернионы представляют собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается . Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.
В свою очередь октонионы , являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.
В отличие от октонионов, седенионы не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.
Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение:
p-адические числа можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел при помощи т. н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.
Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.
Генераторы, использующие физические случайные процессы
Следствием законов квантовой физики является тот факт, что некоторые природные явления (например, радиоактивный распад атомов) абсолютно случайны и не могут быть в принципе предсказаны (одним из первых опытов, доказывающих вероятностную природу некоторых явлений, можно считать опыт Дэвиссона — Джермера). Также из статистической механики следует, что при температуре, не равной абсолютному нулю, каждая система имеет случайные флуктуации своих параметров.
Поскольку некоторые квантово-механические процессы абсолютно случайны, они являются «золотым стандартом» для АГСЧ. Явления, использующиеся в генераторах, включают:
Неквантовые явления проще детектировать, но АГСЧ, основанные на них, будут сильно зависеть от температуры (например, величина теплового шума пропорциональна температуре окружающей среды). Среди процессов, использующихся в АГСЧ, можно отметить:
Генераторы, использующие другие явления
Философское понимание числа заложили пифагорейцы. Аристотель свидетельствует, что пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей, а отношения чисел — основой всех отношений в мире. Числа придают миру упорядоченность и делают его космосом. Такое отношение к числу было принято Платоном, а позже неоплатониками. Платон при помощи чисел различает подлинное бытие (то, что существует и мыслится само по себе) и неподлинное бытие (то, что существует лишь благодаря другому и познаётся только в отношении). Срединное положение между ними занимает число. Оно придаёт меру и определённость вещам и делает их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть подвергнуты пересчёту и поэтому они могут быть мыслимы, а не только ощущаемы. Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно. Числа сверхсущны, пребывают выше Ума, и недоступны знанию. Неоплатоники различают божественные числа (прямую эманацию Единого) и математические числа (составленные из единиц). Последние являются несовершенными подобиями первых.
Аристотель, наоборот, приводит целый ряд аргументов, показывающих, что утверждение о самостоятельном существовании чисел приводит к нелепостям. Арифметика выделяет в этих реально сущих вещах только один аспект и рассматривает их с точки зрения их количества. Числа и их свойства являются результатом такого рассмотрения.
Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта. Число — одно из таких условий. Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования. Любой объект является исчислимым и измеряемым, потому что он сконструирован по схеме числа (или величины). Поэтому всякое явление может рассматриваться математикой. Разум воспринимает природу подчинённой числовым закономерностям именно потому, что сам строит её в соответствии с числовыми закономерностями. Так объясняется возможность применения математики в изучении природы.
Математические определения, разработанные в XIX веке, были серьёзно пересмотрены в начале XX века. Это было вызвано не столько математическими, сколько философскими проблемами. Определения, которые были даны Пеано, Дедекиндом или Кантором, и которые используются в математике и в настоящее время, нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природе знания. Различают три таких философско-математических подхода: логицизм, интуиционизм и формализм.
В зависимости от сложности алгоритмы факторизации можно разбить на две группы. Первая группа — экспоненциальные алгоритмы, сложность которых экспоненциально зависит от длины входящих параметров (то есть от длины самого числа в бинарном представлении). Вторая группа — субэкспоненциальные алгоритмы.
Перебор возможных делителей
Сложность или .
Метод факторизации Ферма
Пусть — натуральные числа, удовлетворяющие условиям
Шаг 1. С помощью обобщённого алгоритма Евклида найти . Найти такое, что .
Шаг 2. Для очередного значения найти числа по следующим правилам:
— частное от деления на , за исключением случая, когда нечётно и остаток от деления равен нулю.
Шаг 3. Для очередного выбора найти все целые числа , удовлетворяющие условиям
если четное,
если нечетное.
Шаг 4. Для каждого c из шага 3 решить в целых числах систему уравнений
Если и окажутся неотрицательными целыми числами, то добавить
Шаг 5. Если , то алгоритм заканчивает работу. Иначе, возвращаемся на шаг 2 к следующему значению .
Алгоритм Полларда — Штрассена
Гарантированная сложность и при верности гипотезы Римана .
P-1 алгоритм Полларда
В настоящее время алгоритм представляет скорее исторический, чем практический интерес, так как этот алгоритм был первым детерминированным алгоритмом со сложностью выполнения быстрее, чем .
где — число подлежащее факторизации, и — некоторые константы.
Факторизация методом непрерывных дробей
На вход алгоритма поступает число , которое необходимо факторизовать, параметры , зависящие от , кроме того, задаются такие, что и для выполнено условие . Алгоритм находит натуральный делитель числа .
Для каждого , полагается
, — простые.
Пусть . Тогда лежит на эллиптической кривой над , определённой уравнением . Необходимо вычислить точку по правилам арифметики над эллиптическими кривыми. Если в ходе вычисления найден делитель числа , то разложилось на множители. Если найден , а делитель не найден, то алгоритм завершает работу и выдаёт сообщение о неудачной попытке факторизации.
Решето числового поля
на русском языке
на английском языке
Ниже представлена иерархия чисел, для множеств которых справедливо выражение , с примерами:
Данная иерархия не является полной, так как её можно расширять сколь угодно много раз (см. процедура Кэли — Диксона).
История развития понятия
Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более впоследствии усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.
Возможности воспроизведения чисел значительно увеличились с появлением письменности. Первое время числа обозначались чёрточками на материале, служащем для записи, например папирус, глиняные таблички, позже стали применяться специальные знаки для некоторых чисел (сохранившиеся до наших дней «римские цифры») и знаки для больших чисел. О последних свидетельствуют вавилонские клинописные обозначения или знаки для записи чисел в кириллической системе счисления. Когда в Индии появилась позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков (цифр), это стало большим достижением человека.
Со временем начинают применяться действия над числами, сначала сложение и вычитание, позже умножение и деление. В результате длительного развития сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от рассматриваемых предметов, о том, что, например, два предмета и семь предметов составляют девять предметов независимо от характера этих предметов. Когда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства и создавать методы решения задач, тогда начинает развиваться арифметика — наука о числах. Потребность в изучении свойств чисел как таковых проявляется в самом процессе развития арифметики, становятся понятными сложные закономерности и их взаимосвязи, обусловленные наличием действий, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных чисел и так далее. Тогда появляется раздел математики, который сейчас называется теория чисел. Когда было замечено, что натуральные числа могут характеризовать не только количество предметов, но и ещё могут характеризовать порядок предметов, расположенных в ряд, возникает понятие порядкового числа.
Вопрос об обосновании понятия натурального числа, столь привычного и простого, долгое время в науке не ставился. Только к середине XIX века под влиянием развития математического анализа и аксиоматического метода в математике, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Введение в употребление дробных чисел было вызвано потребностью производить измерения и стало исторически первым расширением понятия числа.
Введение отрицательных чисел
В Средние века были введены отрицательные числа, с помощью которых стало легче учитывать долг или убыток.
Необходимость введения отрицательных чисел была связана с развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Отрицательные числа систематически применялись при решении задач ещё в VI—XI веках в Индии и истолковывались примерно так же, как это делается в настоящее время.
После того, как Декарт разработал аналитическую геометрию, позволившую рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, что окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, отрицательные числа окончательно вошли в употребление в европейской науке.
Введение действительных чисел
Ещё в Древней Греции в геометрии было совершено принципиально важное открытие: не всякие точно заданные отрезки соизмеримы, другими словами, не у каждого отрезка длина может быть выражена рациональным числом, например сторона квадрата и его диагональ. В «Началах» Евклида была изложена теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. В Древней Греции умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия в геометрической форме. Хотя греки обращались с такими отношениями, как с числами, они не осознали, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как число. Это было сделано в период зарождения современной математики в XVII веке при разработке методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. И. Ньютон во «Всеобщей арифметике» даёт определение понятия действительного числа: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Позже, в 1870-х годах, понятие действительного числа было уточнено на основе анализа понятия непрерывности Р. Дедекиндом, Г. Кантором и К. Вейерштрассом.
Введение комплексных чисел
С развитием алгебры возникла необходимость введения комплексных чисел, хотя недоверие к закономерности пользования ими долго сохранялось и отразилось в сохранившемся до сих пор термине «мнимое». Уже у итальянских математиков XVI века (Дж. Кардано, Р. Бомбелли), в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней, возникла идея комплексного числа. Дело в том, что даже решение квадратного уравнения, в том случае, если уравнение не имеет действительных корней, приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Казалось, что задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, не имеет решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось, что в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными, по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.
Создание алгоритма RSA стимулировало бурные исследования в области факторизации целых чисел.
Представление чисел в памяти компьютера
подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой
Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел часто используется дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.
Представление чисел в памяти компьютера имеет ограничения, связанные с ограниченностью объёма памяти, выделяемого под числа. Даже натуральные числа представляют собой математическую идеализацию, ряд натуральных чисел бесконечен. На объём же памяти ЭВМ накладываются физические ограничения. В связи с этим в ЭВМ мы имеем дело не с числами в математическом смысле, а с некоторыми их представлениями, или приближениями. Для представления чисел отводится некоторое определённое число ячеек (обычно двоичных, бит — от BInary digiT) памяти. В случае, если в результате выполнения операции полученное число должно занять больше разрядов, чем отводится в ЭВМ, результат вычислений становится неверным — происходит так называемое арифметическое переполнение. Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа.
Краткая история развития
Лототрон в Японии.