ВЕСЬ

Чётность нуля
— общепринятый математический факт, который, однако, иногда вызывает сомнения у людей, недостаточно знакомых с математикой.

То, что ноль
 — чётное число
, сразу следует из определения чётного числа. По определению, чётное число — целое число
, которое делятся
на 2
без остатка. Ноль полностью удовлетворяет этому определению. Он также обладает всеми свойствами чётных чисел — например, он с обеих сторон граничит с нечётными числами.

Ноль также подчиняется всем закономерностям, характерным для других чётных чисел. Правила арифметики, такие как: «разность чётных чисел чётна», предполагают, что 0 тоже должен быть чётным числом:

Тем не менее части людей принять чётность нуля труднее, чем чётность другого натурального числа вроде 2, 4, 6 или 8. Либо они вовсе не могут этого сделать, либо ошибочно видят в нуле нечётное (или имеющее двойственную чётность) число.

Почему ноль является чётным

Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.

Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси
. Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:

Со стороны математики

2. Compare Lichtenberg, 1972
   , p. 535 Fig. 1

4. Lichtenberg, 1972
   , pp. 535—536 «Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number.»

5. Dickerson & Pitman, 2012
   , p. 191

8. Devlin, 1985
   , pp. 30–33

9. Dehaene, Bossini & Giraux, 1993
   , pp. 376–377

10. Frobisher, 1999
    , p. 41

11. Levenson, Tsamir & Tirosh, 2007
    , pp. 83–95

12. See data throughout Dehaene, Bossini & Giraux, 1993
    , and summary by Nuerk, Iversen & Willmes, 2004
    , p. 837.

У этого термина существуют и другие значения, см. Ноль (значения)
.

Ноль в математике

Цифра «ноль» в математике

Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда
в записи числа в позиционной системе счисления
. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд
(например, в десятичной системе счисления
, умножает на десять). Сравните, например, числа 4 ₁₀
и 40 ₁₀
; 4 ₁₆
и 40 ₁₆
(нижний индекс означает основание системы счисления).
Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ
, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления
. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи

С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.

В десятичной системе счисления:

• Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
• Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:

• Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
• Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием



число делится на



, если оно оканчивается на



нулей.

Число «ноль» в математике

Принадлежность к натуральным числам

Основные свойства нуля

• 0 — целое число
  .
• На числовой прямой
  0 разделяет положительные
  и отрицательные числа
  .

при

Деление на ноль

• Деление на ноль
  невозможно ни в каком поле
  или кольце
  , включая поля действительных
  и комплексных
  чисел.

В самом деле, если обозначить



, то по определению деления формально должно быть



, в то время как выражение



, при любом



, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента
ни в каком поле.

Значения отдельных функций

Связано это с тем, что функция двух переменных



в точке



имеет неустранимый разрыв
.

В самом деле, вдоль положительного направления оси



где



она равна единице, а вдоль положительного направления оси



где



она равна нулю.
См. подробнее статью Ноль в нулевой степени
.

Ноль в геометрии

• Точку
  можно рассматривать как нульмерный объект
  .
• Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат
  .
• Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
• Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности
  .
• На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре
такой элемент иногда называется нейтральным элементом

, иногда — аддитивным нулём
, чаще всего — нулём относительно сложения
. Примеры такого элемента — нулевой вектор
и нулевая матрица
. ( Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу
, или единицу относительно умножения
 — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо
и его частные случаи — тело
и поле
. Например, квадратная нулевая матрица
размера



является нулевым элементом кольца квадратных матриц



. Кольцо многочленов
также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен
,



.

Ноль в информатике и вычислительной технике

Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему
, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод
.

Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы
(Ø), пустого множества
(∅) или диаметра
(⌀).
Некоторые шрифты OpenType
включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS
имеется специальная опция font-feature-settings: zero
.

Число «ноль» в информатике и вычислительной технике

В компьютерах существует понятие « машинного нуля
» — это число с плавающей запятой
и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real
M(n) означает .массив



Платформа Microsoft . NET Framework
закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic
, который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL
-базах данных поле может иметь специальное значение NULL
, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике



; то есть



представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754
или в прямом
и обратном коде
) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование)
. На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

История использования нуля

История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной
в Индии и шестидесятиричной
в Вавилоне.

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления
обозначалось буквой Ρ, в римской
 — буквой C, в китайской
 — иероглифом 百.

Майя и инки

В империи инков Тауантинсуйу
для записи числовой информации
использовалась узелковая система кипу
, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа
ноль обозначается словом кечуа
(букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских ( Диего Гонсалес Ольгин
, 1608) словарях и первом аймара-испанском (

Лудовико Бертонио
, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии
и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

История числа «ноль»

В китайских записях чисел
цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из «
иероглифов

императрицы

У Цзэтянь

».

В Древней Греции
число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея

пустые клетки обозначались символом ο (буква

омикрон
, от др.-греч.
 — ничего
); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики
.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис
писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера
.

Вещественное число
является целым, если его десятичное представление
не содержит дробной части
(но может содержать знак). Примеры вещественных чисел:

Числа 142857; 0; −273 являются целыми.

Числа 5½; 9,75; −12,07 не являются целыми.

Положительные и отрицательные числа

Согласно своему построению, множество целых чисел состоит из трёх частей:

1. Натуральные числа
   (или, что то же самое, целые положительные
   ). Они возникают естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5…) [5]
   
   .



Ноль

 — число, обозначаемое





. Его определяющее свойство:

для любого числа


.

Целые отрицательные числа
.

Противоположные числа (4 и –4)

Примеры:

Во множестве целых чисел определены три основные арифметические операции: сложение
, обратное к сложению вычитание
и умножение
. Имеется также важная операция, специфическая для натуральных и целых чисел: деление с остатком
. Наконец, для целых чисел определён порядок
, позволяющий сравнивать числа друг с другом.

Сложение и вычитание

1. При сложении целых чисел с одинаковыми знаками надо сложить их абсолютные величины и приписать ей знак слагаемых. Пример;
   
   
   
   .
2. При сложении целых чисел с разными знаками надо сравнить их абсолютные величины, из большей вычесть меньшую и приписать результату знак того слагаемого, у которого абсолютная величина больше. Примеры:
   
   
   
   .
3. Вычитание
   
   
   
   для целых чисел всегда выполнимо, и результат можно найти как
   
   
   
   Пример:
   
   
   
   .
4. Геометрически сложение можно наглядно представить как смещение числа вдоль числовой оси (см. рисунок в начале статьи), причём прибавление положительного числа вызывает смещение направо, а отрицательного — налево. Например, для числа
   
   
   
   прибавление к нему
   
   
   
   означает смещение его вправо на 4 единицы; наглядно видно, что получается
   
   
   
   . Аналогично
   
   
   
   , смещая
   
   
   
   влево на 4 единицы, получим в результате
   
   
   
   .
5. Вычитание можно наглядно представить аналогично, но в этом случае, наоборот, вычитание положительного числа вызывает смещение влево, а отрицательного — вправо. Например,
   
   
   
   смещает
   
   
   
   на 7 единиц к числу
   
   
   
   , а
   
   
   
   смещает его вправо к числу
   
   
   
   .

Умножение и возведение в степень

Следствие
: произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными — отрицательно.

Возведение в натуральную степень
целых чисел определяется так же, как и для натуральных чисел:

Свойства возведения в степень целых чисел такие же, как у натуральных:

В дополнение к этому определению, принято соглашение о нулевой степени:



для любого целого


кроме нуля. Основанием для такого соглашения служит желание сохранить приведенные выше свойства и для нулевого показателя степени:



откуда ясно, что

 — линейно упорядоченное множество
. Порядок в нём задаётся соотношениями:

Если



, то для любого

будет



.

Если



и



, то

.

Если

и

, то

.

Если

и

, то


.

Деление с остатком

Для любых целых


(где


) существует единственный набор целых чисел


такой, что

, где

Примеры

На операции деления с остатком основаны теория сравнений

и алгоритм Евклида
.

Деление нацело. Делители

Целые и вещественные числа

 — ближайшее к



целое в меньшую сторону (функция «пол», англ.
 , или « целая часть
»). Традиционно используются также обозначение Гаусса




или обозначение Лежандра




.

 — ближайшее к



целое в бо́льшую сторону (функция «потолок», англ.
 ).

В зависимости от особенностей постановки задачи, могут встретиться и другие методы: округлить до ближайшего целого или отсечь дробную часть (последний вариант для отрицательных



отличается от функции «целая часть»).

В прикладных науках

Место в общей алгебре

если либо



либо <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7b6102d34eb1cc0a3f47bf003a1910bd0d0a31" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle |a|



либо



и <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57fc9e8d2434f10a4d2019a2792de5d99d736b4" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle a<0

Тогда порядок целых чисел будет таким:



В частности,



будет наименьшим отрицательным числом.



с новым порядком будет вполне упорядоченным множеством, но уже не будет упорядоченным кольцом, так как этот порядок не согласован с операциями кольца: например, из



, прибавив слева и справа 1, получаем неверное неравенство

Расширение натуральных чисел до целых, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — как определить операции над новым типом чисел (например, как определить умножение отрицательных чисел), какие свойства они тогда будут иметь и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям. Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для целых чисел.

Аксиоматика целых чисел

Z1
: Для всяких целых чисел

определена их сумма

.

Z2

: Сложение коммутативно
:

. Для краткости оговорку «для всяких

» далее, как правило, опускаем.

Z3

: Сложение ассоциативно
:




Z4
: Существует элемент 0 (ноль) такой, что


.

Z5

: Для всякого целого числа


существует противоположный ему
элемент


такой, что






Z6
: Для всяких целых чисел



определено их произведение

.

Z7

: Умножение

ассоциативно
:





Z8
: Умножение связано со сложением распределительными
(дистрибутивными) законами:

Z9
: Множество целых чисел

содержит подмножество,

изоморфное

множеству натуральных чисел

. Для простоты далее это подмножество обозначается той же буквой

.

Z10
( аксиома минимальности
): Пусть



 — подмножество



, включающее



и такое, что операция вычитания не выводит за пределы



. Тогда



совпадает со всем



.

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары
натуральных чисел



. Чтобы смысл дальнейших определений стал понятен, сразу поясним, что мы намерены в дальнейшем каждую такую пару рассматривать как целое число



например, пары



или



будут изображать единицу, а пары



или



будут изображать

1. Пары
   
   
   
   и
   
   
   
   считаются равными, если
   
   
   
   . Это связано с тем, что, как показано в примерах, любое целое число можно представить бесконечным числом пар.
2. Сложение
   : сумма пар
   
   
   
   и
   
   
   
   определяется как пара
   
   
   
   .
3. Умножение
   : произведение пар
   
   
   
   и
   
   
   
   определяется как пара
   
   
   
   .

Эта модель позволяет прояснить, как из аксиом целых чисел однозначно следуют их свойства; покажем это для «правила знаков». Например, умножив два «отрицательных числа»



и



, у которых <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792c2055cfc0fad6ef8d41068ff6e356155095ba" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle a<b,\ c



, мы по определению получим пару



. Разность



равна



, это число положительно, поэтому пара-произведение изображает положительное целое число, следовательно, произведение отрицательных чисел положительно. Любое другое правило (скажем, «произведение отрицательных чисел отрицательно») сделало бы теорию целых чисел противоречивой.

Вариации и обобщения

Некоторые алгебраические структуры по своим свойствам похожи на кольцо целых чисел



. Среди них:

• Выгодский М. Я.
  
  Справочник по элементарной математике
  . — М.
  : Наука, 1978.

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И.
  
  Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.
  : Наука, 1976. — 591 с.
• Клейн Ф.
  
  Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.
  : Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
• Нечаев В. И.
  
  Числовые системы. — М.
  : Просвещение, 1975. — 199 с.
• Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.
  : Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.

Определение нулевого числа

Ноль – это число, используемое в математике для обозначения отсутствия количества или нулевого количества.

Когда на столе 2 яблока и мы берем 2 яблока, мы можем сказать, что на столе нет яблок.

Нулевое число не является положительным и отрицательным числом.

Ноль также является цифрой-заполнителем в других числах (например: 40,103, 170).

Ноль – это число?

Ноль – это число. Это не положительное или отрицательное число.

Нулевая цифра

При написании чисел нулевая цифра используется в качестве заполнителя.

204 = 2 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1

История нулевых номеров

Кто придумал нулевое число?

Современный символ 0 был изобретен в Индии в VI веке, позже использовался персами и арабами, а затем и в Европе.

Символ нуля

Нулевое число обозначается символом .

В арабской системе счисления используется символ ٠.

Свойства с нулевым числом

x представляет любое число.

Нулевое дополнение

Сложение числа плюс ноль равно числу:

х
+ 0 = х

5 + 0 = 5

Нулевое вычитание

Вычитание числа минус ноль равно числу:

х
– 0 = х

5 – 0 = 5

Умножение на ноль

Умножение числа на ноль равно нулю:

х
× 0 = 0

5 × 0 = 0

Число деленное на ноль

Деление числа на ноль не определено:

x
÷ 0 не определено

5 ÷ 0 не определено

Ноль делится на число

Деление нуля на число равно нулю:

0 ÷ х
= 0

0 ÷ 5 = 0

Число в нулевой степени

Степень числа, возведенного в ноль, равна единице:

х
⁰
= 1

5 ⁰
= 1

Логарифм нуля

Логарифм нуля по основанию b не определен:

log _b

(0)

Нет числа, с которым мы могли бы поднять основание b до нуля.

Только предел логарифма x по основанию b, когда x сходится к нулю, равен минус бесконечности:

Наборы, содержащие ноль

Ноль – это элемент наборов натуральных, целых, действительных и комплексных чисел:

Ноль – четное или нечетное число?

Набор четных чисел:

Набор нечетных чисел:

Ноль – это целое число, кратное 2:

0 × 2 = 0

Ноль является членом набора четных чисел:

Итак, ноль – это четное число, а не нечетное.

Ноль – натуральное число?

Есть два определения набора натуральных чисел.

Набор неотрицательных целых чисел:

Набор натуральных чисел:

Ноль является членом набора неотрицательных целых чисел:

0 ∈ ℕ ₀

Ноль не входит в набор натуральных чисел:

0 ∉ ℕ ₁

Ноль – это целое число?

У целых чисел есть три определения:

Набор целых чисел:

Набор неотрицательных целых чисел:

Набор натуральных чисел:

Ноль является членом набора целых чисел и набора неотрицательных целых чисел:

0 ∈ ℕ ₀

Ноль не входит в набор натуральных чисел:

0 ∉ ℕ ₁

Ноль – это целое число?

Набор целых чисел:

Ноль входит в набор целых чисел:

Итак, ноль – это целое число.

Является ли ноль рациональным числом?

Рациональное число – это число, которое можно выразить как частное двух целых чисел:

Ноль можно записать как частное двух целых чисел.

0 = 0/3

Итак, ноль – рациональное число.

Ноль – это положительное число?

Положительное число определяется как число больше нуля:

Поскольку ноль не больше нуля, это не положительное число.

Ноль – простое число?

Число 0 не является простым числом.

Ноль не является положительным числом и имеет бесконечное количество делителей.

Наименьшее простое число – 2.

---