весь

ВЕСЬ
Иллюстрация чётности нуля: 0 объектов поровну разделили между чашами весов, и они находятся в равновесии

Чётность нуля
— общепринятый математический факт, который, однако, иногда вызывает сомнения у людей, недостаточно знакомых с математикой.

То, что ноль
 — чётное число
, сразу следует из определения чётного числа. По определению, чётное число — целое число
, которое делятся
на 2
без остатка. Ноль полностью удовлетворяет этому определению. Он также обладает всеми свойствами чётных чисел — например, он с обеих сторон граничит с нечётными числами.

Ноль также подчиняется всем закономерностям, характерным для других чётных чисел. Правила арифметики, такие как: «разность чётных чисел чётна», предполагают, что 0 тоже должен быть чётным числом:


Тем не менее части людей принять чётность нуля труднее, чем чётность другого натурального числа вроде 2, 4, 6 или 8. Либо они вовсе не могут этого сделать, либо ошибочно видят в нуле нечётное (или имеющее двойственную чётность) число.

Почему ноль является чётным

Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.


ВЕСЬ
Слева изображены группы с 0, 2 и 4 белыми объектами по парам; справа с 1, 3 и 5 объектами, где объект без пары обозначен красным. Область с 0 объектами не содержит красных объектов [2]

.

Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси
. Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:

ВЕСЬ

Со стороны математики

ВЕСЬ
Чётные (синие) — подмножество Z
ВЕСЬ
Многоугольники с числами
ВЕСЬ


ВЕСЬ
Результат опроса школьников 1-6 классов в Великобритании [10]


  1. Compare Lichtenberg, 1972
    , p. 535 Fig. 1

  2. Lichtenberg, 1972
    , pp. 535—536 «Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number.»

  3. Dickerson & Pitman, 2012
    , p. 191

  4. Devlin, 1985
    , pp. 30–33

  5. Dehaene, Bossini & Giraux, 1993
    , pp. 376–377

  6. Frobisher, 1999
    , p. 41

  7. Levenson, Tsamir & Tirosh, 2007
    , pp. 83–95

  8. See data throughout Dehaene, Bossini & Giraux, 1993
    , and summary by Nuerk, Iversen & Willmes, 2004
    , p. 837.

Множество
целых чисел




определяется как замыкание
множества натуральных чисел




относительно сложения
(+) и вычитания
(-). Таким образом, сумма
, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из положительных натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n
( n




) и числа нуль
.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом
относительно операций сложения и умножения
.
Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (M. Stiffel, —), в книге «Полная арифметика» 1544 года, и Никола Шюке (N. Chuquet, —) — его работа была обнаружена в году.



Арифметические операции и порядок

Пользуясь имеющимися операциями сложения и умножения на множестве натуральных чисел, введём соответствующие операции на построенном множестве целых чисел:







Определённые выше операции корректны, то есть не зависят от выбора представителей соответствующий классов эквивалентности. Сходным образом возможно использовать стандартный порядок на натуральных числах для определения частичного порядка на целых числах:




Такой порядок является корректным и полным. Из архимедовости натуральных чисел следует, что множество целых чисел не обладает ни наибольшим, ни наименьшим элементом.


Стандартные обозначения и терминология

Пусть



. Введём обозначение

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2be4c5755934c3e6de2dd1b1f63951086444af" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle {\bigl [}(m,n){\bigr ]}\equiv \left\{{\begin{matrix}m-n,&m\geq n,\\-(n-m),&m


В частности натуральные числа могут быть идентифицированы с парами вида




Легко убедиться, что введённые выше бинарные операции и порядок на целых числах согласнованы с уже имеющимися операция и порядком на множестве натуральных чисел. Таким образом с точностью до изоморфизма можно считать, что



Множество



называется множество положительных целых чисел. Подмножество целых чисел вида




называется множеством отрицательных целых чисел. Из определения порядка, данного выше, следует, что

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06df561b4837feb55830a292f2796c4357611606" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle \cdots <-3<-2<-1<0<1<2<3



Основные алгебраические свойства введённых арифметических операций на целых числах суммированы в следующей таблице:






линейно упорядоченное множество
без верхней и нижней границ. Порядок в нём задается соотношениями:

… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …

Целое число называется положительным
, если оно больше нуля, отрицательным
, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

  1. если a
    < b
    и c
    < d
    , тогда a
    + c
    < b
    + d
    .
  2. если a
    < b
    и 0 < c
    , тогда ac
    < bc
    . ( Отсюда легко показать, что если c
    < 0, то ac
    > bc
    .)


Целые числа в вычислительной технике

Тип целое цисло
— зачастую один из основных в . Тем не менее эти «целые числа» — лишь имитация класса



в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор , но любые представления в конце концов приведут к тому, что свободное место на () закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.


Шаблон:Категория только в статьях


Ноль – это целое число, расположенное на координатной прямой между -1
и 1
. 0
( ноль
, нуль
от
— никакой) — и одновременно число
. Ноль
— это нейтральный элемент
для операции сложения
. Умножение
любого элемента множества на ноль дает ноль. Ноль не изменяет значения числа при прибавлении к нему. Аналогичным свойством по умножению обладает единица. Деление на ноль невозможно – в самом деле если бы результатом деления числа a≠0 на ноль было бы какое-нибудь число b, то мы имели бы c с одной стороны b×0=0, c другой стороны b×0=a≠0. Результатом деления 0:0 могло бы считаться любое число а, так как для всех a a×0=0, но так как считается, что результатом деления должно быть единственное число, то этот случай также исключается.

В зависимости от множества, на котором определена операция сложения, ноль может иметь различную природу. Обычно имеют в виду действительный ноль, то есть ноль в контексте множества действительных чисел; комплексный ноль; ноль- многочлен
; ноль-вектор
.

Действительный ноль является границей между областью и областью отрицательных
чисел. Ноль не имеет знака. Иногда множество действительных чисел
разделяют на три подмножества
: положительные, отрицательные и беззнаковые числа. При этом беззнаковые числа — множество, состоящее лишь из ноля. Множество беззнаковых чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.


Ноль как натуральное число

Существуют два подхода к определению натуральных чисел
, отличающиеся причислением нуля к натуральным числам. В русской школьной программе по математике не принято причислять ноль к натуральным числам.


  • Нулевое
  • N + 0 = N [1]
  • N – 0 = N
  • N * 0 = 0
  • N / 0 – выражение, лишённое смысла, неопределённое, вызывающее ошибку
  • N 0
    = 1, при N≠0
  • Ноль – чётное число, так как при делении его на 2 получается целое число
  • Ноль – единственное не положительное и не отрицательно число
  • 0 0
    – выражение лишённое смысла, то есть не определённое


Ноль часто используется как начало отсчёта.

  • Ноль важен во многих разделах физики
  • В картографии существует нулевой меридиан, нулевой километр и многое другое


В других областях

  • ASCII
    -код управляющего символа NUL
  • охватывает 0
  • в и календаре не было.


  • −0 и +0
    — отрицательный и положительный ноль
  • Машинный ноль


  • A History of Zero
  • Zero Saga
  • The Discovery of the Zero
  • The History of Algebra
  • Why numbering should start at zero


У этого термина существуют и другие значения, см. Ноль (значения)
.

Ноль в математике


Цифра «ноль» в математике

Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда
в записи числа в позиционной системе счисления
. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд
(например, в десятичной системе счисления
, умножает на десять). Сравните, например, числа 4 10
и 40 10
; 4 16
и 40 16
(нижний индекс означает основание системы счисления).
Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ
, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления
. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи


С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.

В десятичной системе счисления:

  • Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
  • Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:

  • Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
  • Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием



число делится на



, если оно оканчивается на



нулей.


Число «ноль» в математике


Принадлежность к натуральным числам


Основные свойства нуля

  • 0 — целое число
    .
  • На числовой прямой
    0 разделяет положительные
    и отрицательные числа
    .
Отрицательные числа (красным) на числовой оси
Отрицательные числа (красным) на числовой оси








при



Деление на ноль

  • Деление на ноль
    невозможно ни в каком поле
    или кольце
    , включая поля действительных
    и комплексных
    чисел.
В самом деле, если обозначить



, то по определению деления формально должно быть



, в то время как выражение



, при любом



, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента
ни в каком поле.


Значения отдельных функций

Связано это с тем, что функция двух переменных



в точке



имеет неустранимый разрыв
.
В самом деле, вдоль положительного направления оси



где



она равна единице, а вдоль положительного направления оси



где



она равна нулю.

См. подробнее статью Ноль в нулевой степени
.


Ноль в геометрии

  • Точку
    можно рассматривать как нульмерный объект
    .
  • Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат
    .
  • Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
  • Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности
    .
  • На окружности расположения 0° и 360° совпадают.


Ноль в математическом анализе


Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре
такой элемент иногда называется нейтральным элементом

, иногда — аддитивным нулём
, чаще всего — нулём относительно сложения
. Примеры такого элемента — нулевой вектор
и нулевая матрица
. ( Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу
, или единицу относительно умножения
 — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо
и его частные случаи — тело
и поле
. Например, квадратная нулевая матрица
размера



является нулевым элементом кольца квадратных матриц



. Кольцо многочленов
также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен
,



.

Ноль в информатике и вычислительной технике


Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему
, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод
.

ВЕСЬ
Пометки нулей, чтобы не путать их с буквой О

Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы
(Ø), пустого множества
(∅) или диаметра
(⌀).
Некоторые шрифты OpenType
включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS
имеется специальная опция font-feature-settings: zero
.


Число «ноль» в информатике и вычислительной технике

В компьютерах существует понятие « машинного нуля
» — это число с плавающей запятой
и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real
M(n) означает .массив



Платформа Microsoft . NET Framework
закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic
, который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL
-базах данных поле может иметь специальное значение NULL
, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике



; то есть



представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754
или в прямом
и обратном коде
) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование)
. На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

История использования нуля


История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной
в Индии и шестидесятиричной
в Вавилоне.


Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления
обозначалось буквой Ρ, в римской
 — буквой C, в китайской
 — иероглифом 百.


Майя и инки

ВЕСЬ
Пустая раковина — один из знаков нуля в системе счисления майя

В империи инков Тауантинсуйу
для записи числовой информации
использовалась узелковая система кипу
, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа
ноль обозначается словом кечуа
(букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских ( Диего Гонсалес Ольгин
, 1608) словарях и первом аймара-испанском (

Лудовико Бертонио
, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».


С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии
и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.





История числа «ноль»

В китайских записях чисел
цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из «
иероглифов

императрицы

У Цзэтянь

».

В Древней Греции
число 0 известно не было. В астрономических таблицах
Клавдия Птолемея

пустые клетки обозначались символом ο (буква

омикрон
, от др.-греч.
 — ничего
); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики
.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис
писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера
.

Ноль
(нуль) (от лат.
nullus
— никакой) — это для операции сложения
. Умножение
любого элемента множества на ноль дает ноль.

Ноль обозначается цифрой «0».

В зависимости от множества, на котором определена операция сложения, ноль может иметь различную природу. Обычно имеют в виду действительный ноль, то есть ноль в контексте множества действительных чисел; комплексный ноль; ноль-; ноль- вектор
.

Очевидно, что действительный ноль, комплексный ноль, ноль-многочлен (если коэффициенты многочлена комплексные числа) суть один и тот же объект
.

Действительный ноль является границей между областью и областью чисел. Ноль не имеет знака. Некоторые ученые говорят о множественности нуля, разделяя множество действительных чисел
на три подмножества
одинаковой мощности
: положительные, отрицательные и беззнаковые числа. При этом беззнаковые числа суть ноль. Множество беззнаковых чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения.

  • нулевым





  • – краткая статья
  • – энциклопедическая статья
  • Разное – на страницах
    : , , ,
  • Прошу вносить вашу информацию в «», чтобы сохранить ее



ВЕСЬ
ВЕСЬ
Целые числа на числовой прямой

Вещественное число
является целым, если его десятичное представление
не содержит дробной части
(но может содержать знак). Примеры вещественных чисел:

Числа 142857; 0; −273 являются целыми.
Числа 5½; 9,75; −12,07 не являются целыми.

Положительные и отрицательные числа

Согласно своему построению, множество целых чисел состоит из трёх частей:

  1. Натуральные числа
    (или, что то же самое, целые положительные
    ). Они возникают естественным образом при счёте (1, 2, 3, 4, 5…) [5]

    .
  2. Ноль

     — число, обозначаемое



    . Его определяющее свойство:

    для любого числа


    .

    Целые отрицательные числа
    .

Противоположные числа (4 и –4)

Примеры:



Во множестве целых чисел определены три основные арифметические операции: сложение
, обратное к сложению вычитание
и умножение
. Имеется также важная операция, специфическая для натуральных и целых чисел: деление с остатком
. Наконец, для целых чисел определён порядок
, позволяющий сравнивать числа друг с другом.


Сложение и вычитание




  1. При сложении целых чисел с одинаковыми знаками надо сложить их абсолютные величины и приписать ей знак слагаемых. Пример;



    .
  2. При сложении целых чисел с разными знаками надо сравнить их абсолютные величины, из большей вычесть меньшую и приписать результату знак того слагаемого, у которого абсолютная величина больше. Примеры:



    .
  3. Вычитание



    для целых чисел всегда выполнимо, и результат можно найти как



    Пример:



    .
  4. Геометрически сложение можно наглядно представить как смещение числа вдоль числовой оси (см. рисунок в начале статьи), причём прибавление положительного числа вызывает смещение направо, а отрицательного — налево. Например, для числа



    прибавление к нему



    означает смещение его вправо на 4 единицы; наглядно видно, что получается



    . Аналогично



    , смещая



    влево на 4 единицы, получим в результате



    .
  5. Вычитание можно наглядно представить аналогично, но в этом случае, наоборот, вычитание положительного числа вызывает смещение влево, а отрицательного — вправо. Например,



    смещает



    на 7 единиц к числу



    , а



    смещает его вправо к числу



    .


Умножение и возведение в степень




Следствие
: произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными — отрицательно.

Возведение в натуральную степень
целых чисел определяется так же, как и для натуральных чисел:




Свойства возведения в степень целых чисел такие же, как у натуральных:





В дополнение к этому определению, принято соглашение о нулевой степени:



для любого целого


кроме нуля. Основанием для такого соглашения служит желание сохранить приведенные выше свойства и для нулевого показателя степени:



откуда ясно, что





 — линейно упорядоченное множество
. Порядок в нём задаётся соотношениями:

Если



, то для любого

будет



.

Если



и




, то


.

Если


    и


  • , то


  • .

    Если

  • и
  • , то


    .


  • Деление с остатком

    Для любых целых


    (где


    ) существует единственный набор целых чисел


    такой, что

    , где



    Примеры



    На операции деления с остатком основаны теория сравнений

    и алгоритм Евклида
    .


    Деление нацело. Делители

  • Целые и вещественные числа





     — ближайшее к



    целое в меньшую сторону (функция «пол», англ.
     , или « целая часть
    »). Традиционно используются также обозначение Гаусса




    или обозначение Лежандра




    .




     — ближайшее к



    целое в бо́льшую сторону (функция «потолок», англ.
     ).

    В зависимости от особенностей постановки задачи, могут встретиться и другие методы: округлить до ближайшего целого или отсечь дробную часть (последний вариант для отрицательных



    отличается от функции «целая часть»).



    В прикладных науках

    ВЕСЬ
    Отметки целых значений температуры на шкале термометра


    Место в общей алгебре

    ВЕСЬ
    Иерархия числовых множеств:





     — натуральные числа






     — целые числа





     — рациональные числа






     — вещественные числа






     — иррациональные числа




    если либо



    либо <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7b6102d34eb1cc0a3f47bf003a1910bd0d0a31" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle |a|



    либо



    и <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57fc9e8d2434f10a4d2019a2792de5d99d736b4" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle a<0


    Тогда порядок целых чисел будет таким:



    В частности,



    будет наименьшим отрицательным числом.



    с новым порядком будет вполне упорядоченным множеством, но уже не будет упорядоченным кольцом, так как этот порядок не согласован с операциями кольца: например, из



    , прибавив слева и справа 1, получаем неверное неравенство



    Расширение натуральных чисел до целых, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — как определить операции над новым типом чисел (например, как определить умножение отрицательных чисел), какие свойства они тогда будут иметь и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям. Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для целых чисел.


    Аксиоматика целых чисел

    Z1
    : Для всяких целых чисел


    определена их сумма


    .

    Z2

    : Сложение коммутативно
    :

    . Для краткости оговорку «для всяких



    » далее, как правило, опускаем.

      Z3

      : Сложение ассоциативно
      :



      Z4
      : Существует элемент 0 (ноль) такой, что



      .

      Z5

      : Для всякого целого числа


      существует
      противоположный ему
      элемент



      такой, что




      Z6
      : Для всяких целых чисел



      определено их произведение

      .

      Z7

      : Умножение

      ассоциативно
      :




      Z8
      : Умножение связано со сложением
      распределительными
      (дистрибутивными) законами:

    Z9
    : Множество целых чисел

  • содержит подмножество,

  • изоморфное
  • множеству натуральных чисел


  • . Для простоты далее это подмножество обозначается той же буквой

  • .

    Z10
    ( аксиома минимальности
    ): Пусть



     — подмножество



    , включающее



    и такое, что операция вычитания не выводит за пределы



    . Тогда



    совпадает со всем



    .


    Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары
    натуральных чисел



    . Чтобы смысл дальнейших определений стал понятен, сразу поясним, что мы намерены в дальнейшем каждую такую пару рассматривать как целое число



    например, пары



    или



    будут изображать единицу, а пары



    или



    будут изображать


    1. Пары



      и



      считаются равными, если



      . Это связано с тем, что, как показано в примерах, любое целое число можно представить бесконечным числом пар.
    2. Сложение
      : сумма пар



      и



      определяется как пара



      .
    3. Умножение
      : произведение пар



      и



      определяется как пара



      .

    Эта модель позволяет прояснить, как из аксиом целых чисел однозначно следуют их свойства; покажем это для «правила знаков». Например, умножив два «отрицательных числа»



    и



    , у которых <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792c2055cfc0fad6ef8d41068ff6e356155095ba" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle a<b,\ c



    , мы по определению получим пару



    . Разность



    равна



    , это число положительно, поэтому пара-произведение изображает положительное целое число, следовательно, произведение отрицательных чисел положительно. Любое другое правило (скажем, «произведение отрицательных чисел отрицательно») сделало бы теорию целых чисел противоречивой.

    Вариации и обобщения

    Некоторые алгебраические структуры по своим свойствам похожи на кольцо целых чисел



    . Среди них:


    • Выгодский М. Я.

      Справочник по элементарной математике
      . — М.
      : Наука, 1978.

    • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И.

      Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.
      : Наука, 1976. — 591 с.
    • Клейн Ф.

      Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.
      : Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
    • Нечаев В. И.

      Числовые системы. — М.
      : Просвещение, 1975. — 199 с.
    • Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.
      : Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.


    Определение нулевого числа

    Ноль – это число, используемое в математике для обозначения отсутствия количества или нулевого количества.

    Когда на столе 2 яблока и мы берем 2 яблока, мы можем сказать, что на столе нет яблок.

    Нулевое число не является положительным и отрицательным числом.

    Ноль также является цифрой-заполнителем в других числах (например: 40,103, 170).


    Ноль – это число?

    Ноль – это число. Это не положительное или отрицательное число.


    Нулевая цифра

    При написании чисел нулевая цифра используется в качестве заполнителя.

    204 = 2 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1


    История нулевых номеров


    Кто придумал нулевое число?

    Современный символ 0 был изобретен в Индии в VI веке, позже использовался персами и арабами, а затем и в Европе.


    Символ нуля

    Нулевое число обозначается символом .

    В арабской системе счисления используется символ ٠.


    Свойства с нулевым числом

    x представляет любое число.


    Нулевое дополнение

    Сложение числа плюс ноль равно числу:

    х
    + 0 = х

    5 + 0 = 5


    Нулевое вычитание

    Вычитание числа минус ноль равно числу:

    х
    – 0 = х

    5 – 0 = 5


    Умножение на ноль

    Умножение числа на ноль равно нулю:

    х
    × 0 = 0

    5 × 0 = 0


    Число деленное на ноль

    Деление числа на ноль не определено:

    x
    ÷ 0 не определено

    5 ÷ 0 не определено


    Ноль делится на число

    Деление нуля на число равно нулю:

    0 ÷ х
    = 0

    0 ÷ 5 = 0


    Число в нулевой степени

    Степень числа, возведенного в ноль, равна единице:

    х
    0
    = 1

    5 0
    = 1


    Логарифм нуля

    Логарифм нуля по основанию b не определен:

    log b

    (0)

    Нет числа, с которым мы могли бы поднять основание b до нуля.

    Только предел логарифма x по основанию b, когда x сходится к нулю, равен минус бесконечности:

    \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ textup {log} _b (x) = - \ infty


    Наборы, содержащие ноль

    Ноль – это элемент наборов натуральных, целых, действительных и комплексных чисел:


    Ноль – четное или нечетное число?

    Набор четных чисел:

    Набор нечетных чисел:

    Ноль – это целое число, кратное 2:

    0 × 2 = 0

    Ноль является членом набора четных чисел:

    Итак, ноль – это четное число, а не нечетное.


    Ноль – натуральное число?

    Есть два определения набора натуральных чисел.

    Набор неотрицательных целых чисел:

    Набор натуральных чисел:

    Ноль является членом набора неотрицательных целых чисел:

    0 ∈ ℕ 0

    Ноль не входит в набор натуральных чисел:

    0 ∉ ℕ 1


    Ноль – это целое число?

    У целых чисел есть три определения:

    Набор целых чисел:

    Набор неотрицательных целых чисел:

    Набор натуральных чисел:

    Ноль является членом набора целых чисел и набора неотрицательных целых чисел:

    0 ∈ ℕ 0

    Ноль не входит в набор натуральных чисел:

    0 ∉ ℕ 1


    Ноль – это целое число?

    Набор целых чисел:

    Ноль входит в набор целых чисел:

    Итак, ноль – это целое число.


    Является ли ноль рациональным числом?

    Рациональное число – это число, которое можно выразить как частное двух целых чисел:

    Ноль можно записать как частное двух целых чисел.

    0 = 0/3

    Итак, ноль – рациональное число.


    Ноль – это положительное число?

    Положительное число определяется как число больше нуля:

    Поскольку ноль не больше нуля, это не положительное число.


    Ноль – простое число?

    Число 0 не является простым числом.

    Ноль не является положительным числом и имеет бесконечное количество делителей.

    Наименьшее простое число – 2.


    Про урокцифры:  КАКАЯ СЕГОДНЯ ПОГОДА ВИДЕО

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *