Дробление камней в почках
Математика: , оптическое свойство эллипса, касательная к эллипсу,
Конечно, излучение проходит и через ткани, окружающие камень, но только в фокусе одномоментно концентрируется вся энергия излучения,
становясь и разрушающей, и целительной силой.
Приведём геометрическое объяснение оптического свойства эллипса.
Вышедший из фокуса луч, достигнув эллипса, отражается по закону «угол падения равен углу отражения» (отражение от кривой — это отражение
от касательной к кривой в этой точке).
Если точку отражения луча соединить и со вторым фокусом, то получаются два отрезка нити из геометрического определения эллипса.
На касательной к эллипсу, проведённой в точке отражения луча, все остальные точки лежат вне эллипса, поэтому для них сумма расстояний
до фокусов будет больше.
Воспользуемся теперь результатом фольклорной «задачи о Красной Шапочке», в которой внучка должна дойти от своего дома до реки (прямой),
наполнить ведро и отнести его в дом бабушки. Кратчайший путь характеризуется тем, что отрезки, соединяющие дома с точкой «водозабора»
на берегу, должны быть наклонены к прямой под одинаковыми углами.
Анонс номера
Эллипс, симметричный как квадрат (стр. 2–6)
Д. Звонкин
Если у числа поменяли знак, а оно при этом не изменилось, значит это число — ноль. Если вектор на плоскости повернули на треть оборота, но он остался прежним, то, значит, это был нулевой вектор. А если вы внимательно прочли название статьи, то несомненно догадались, что эллипс, симметричный, как квадратик, — это окружность. В этой статье мы решим несколько задач, в которых запрятаны симметричные векторы, прямые, плоскости, эллипсы и даже эллипсоиды. Найдя их, задачи можно будет решить, исходя лишь из соображений симметрии.
НАМ ПИШУТ
Катастрофа замечательной точки (стр. 6–7)
И. Акулич
В «Кванте» №2 за 2012 год В. Протасов и В. Тихомиров опубликовали результаты исследования свойств замечательной точки в остроугольном треугольнике, для которой так называемая Lp-норма расстояний от нее до вершин треугольника наименьшая. Они же нашли ее положение для трех значений параметра р. Попытка выяснить местонахождение точки для других р привела к неожиданному результату: при некотором его значении происходит «катастрофа» замечательной точки, то есть ее скачкообразное перемещение в одну из вершин треугольника! Похоже, окончательное расследование всех возникших при этом загадок еще впереди.
Почему в хорошую пиццерию не надо ходить в «час пик» (стр. 8–12)
А. Варламов
«Сравнительно недавно пришедшая в Россию пицца имеет долгую, трехтысячелетнюю историю», — так начинается статья, которой ее рецензент присвоил эпитет «вкусная». Ее автор уже много лет живет и работает в Италии, которая справедливо считается родоначальницей пиццы. Он не понаслышке знает о всех достоинствах и недостатках этого продукта. И знает, когда именно нужно, а точнее — не нужно, приходить в хорошую пиццерию. Оказывается, вкусовые качества пиццы определяются температурным режимом в печи, где она «зреет», и временем изготовления. И автор строит некую модель, рассматривает различные механизмы передачи тепла от печи к пицце, проводит соответствующие расчеты и показывает, что лучший результат получается с использованием дровяной печи.
Автомобильные пробки: когда рациональность ведет к коллапсу (стр. 13–18)
А. Гасников, Ю. Дорн, Е. Нурминский, Н. Шамрай
В статье описываются классические представления, сформировавшиеся к середине XX века, о том, откуда берутся пробки. В основе лежит очень важная в математической экономике концепция: равновесие Нэша из теории игр. Несмотря на то, что с тех пор прошло более полувека, описанный в статье подход (понимания того, как распределяются транспортные потоки по графу транспортной сети) по-прежнему является наиболее цитируемым и часто используемым на практике. Отметим также, что в статье рассмотрен очень важный в философском плане пример Брайеса, иногда даже называемый парадоксом. Суть которого, грубо говоря, сводится к тому, что действуя эгоистично люди, как правило, сходятся к какому-то равновесию (Нэша), но это равновесие может быть плохим. То есть бывает даже так, что можно сказать людям, как действовать, и абсолютно все от этого выиграют (социальный оптимум) по сравнению с равновесием Нэша, но, к сожалению, такие состояния, как правило, оказываются неустойчивыми, и система, приведенная в такое состояние, всё равно в итоге «скатывается» в равновесие Нэша. В транспортном контексте это проявляется в том, что в определенных ситуациях строительство новой дороги может увеличить время в пути абсолютно всех пользователей транспортной сети :(.
ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
Задачи М2286–М2293, Ф2293–Ф2299 (стр. 23–25)
Решения задач М2269–М2275, Ф2275–Ф2282 (стр. 25–31)
«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
Задачи (стр. 34)
Конкурс имени А. П. Савина «Математика 6–8» (стр. 35)
Меньше знаешь — крепче спишь (стр. 35–37)
И. Акулич
Как правило, при решении любой задачи дополнительные сведения повредить не могут: запас, как известно, карман не тянет. Однако, пусть и не часто, бывают случаи, когда именно отсутствие информации позволяет одолеть проблему проще и быстрей. В статье рассматривается как раз такая ситуация на примере одного из заданий международного конкурса «Кенгуру» 2011 года.
Простой мини-робот (стр. 37)
А. Андреев, А. Панов
Предлагается самостоятельно изготовить программируемый мобильный мини-робот-уборщик. Рассказывается, какие для этого необходимы элементы, как собрать и отладить игрушку и как с ней можно провести испытания.
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ
Почему радуги бывают разными (стр. 46–48)
C. Варламов
Конечно, каждый видел когда-нибудь на небе радугу. Лучше всего заметна самая яркая, так называемая первая, радуга. Но есть еще вторая и многочисленные дополнительные радуги. Как возникает радуга? Почему не всегда видны дополнительные радуги? Какие физические законы объясняют происхождение радуги? Можно ли наблюдать радугу в космосе? Как получить радугу в домашних условиях? Эти и многие сопутствующие вопросы и обсуждаются в статье.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
Две фальшивые монеты (стр. 49–54)
К. Кноп
Сюжет о нахождении фальшивой монеты при помощи двухчашечных (рычажных) весов давно уже стал классикой математических кружков. Задачу об отыскании одной легкой фальшивой монеты из девяти за два взвешивания (а из 27 — за три) обычно предлагают школьникам еще на первом году занятий кружка. Однако минимальные отклонения от этого сюжета приводят уже к более трудным задачам. О них и пойдет речь в этой статье.
ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
Геометрия световых лучей (стр. 55–58)
В. Дроздов
Как и следует из названий рубрики и статьи, здесь приведены основные факты о свойствах лучей, которые должен знать сдающий физику абитуриент, и показано, как с их помощью решаются задачи по оптике. В конце статьи приведено значительное количество упражнений для самостоятельного решения.
ОЛИМПИАДЫ
XXXIV Турнир городов (стр. 59–60)
Приведены условия задач базового и сложного вариантов осеннего тура.
Московская студенческая олимпиада по физике 2012 года (стр. 69–70)
В статье приводятся задачи II (Московского) тура Всероссийской олимпиады по физике в технических вузах страны и результаты личных и командных соревнований.
Ответы, указания, решения (стр. 61–64)
КОЛЛЕКЦИЯ ГОЛОВОЛОМОК
Еще одна деталь (2-я стр. обложки и стр. 31)
Е. Епифанов
ШАХМАТНАЯ СТРАНИЧКА
Компьютеры решают и опровергают? (3-я стр. обложки)
Е. Гик