Система записи чисел — способ представления чисел в письменном виде.
У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения).
Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
Введение
Несколько дней назад я решил написать незатейливую статью про нумерологическое сложение. Моей целью было показать, что даже такая незамысловатая операция может иметь большое количество интересных закономерностей. Многие из этих закономерностей я нашёл ещё в школьное время, когда скучал на уроках географии. При внимательном рассмотрении я нашёл больше закономерностей, чем ожидал, и это привело меня назад к моей любимой теме full reptend prime.
После я внимательно изучил то, что нашёл, узнал, что многие из этих понятий уже существуют, и решил переписать статью заново, чтобы опираться на общеизвестные понятия. Помимо известных понятий я добавил собственные визуализации, чтобы сделать чтение немного более увлекательным.
Основные числовые множества
Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение:
Запрос «Цифра» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Цифры числовой системы майя с западными арабскими эквивалентами
Ци́фры (от ср.-лат. cifra от араб. (ṣifr) «пустой, нуль») — система знаков для записи конкретных значений чисел. Цифрами называют только такие знаки, которые сами в отдельности описывают определённые числа (так например, знак минуса − или десятичной запятой , хоть и используются для записи чисел, но цифрами не являются). Слово «цифра» в данной статье без уточнения обычно означает один из следующих десяти знаков (т. н. «арабские цифры»):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Существуют также много других систем записи чисел:
Во множественном числе в обиходной речи слово цифры также может обозначать «числовые данные», так как любое число записывается набором цифр. Например, выражение «приведём такие „цифры“» на самом деле говорит о числах, и даже когда речь идёт об одном числовом данном, записанном одной цифрой, следует употреблять множественное число. Однако неверно говорить «здесь цифры больше», так как сравниваются не цифры, а числа.
Само слово цифра происходит от арабского صفر (ṣifr) «ничего, ноль» и в современном русском языке пишется через букву «и», в отличие от слов-исключений: цыган, цыплёнок, цыпочки и др.
Национальные варианты арабско-индийских десятичных цифр
А — западные арабские, Б — восточные арабские, В — персидские, Г — деванагари, Д — бенгальские, Е — гурмукхи, Ж — гуджарати, З — ория, И — тамильские, К — телугу, Л — каннада, М — малаялам, Н — тайские, О — лаосские, П — тибетские, Р — бирманские, С — кхмерские, Т — монгольские, У — лимбу, Ф — новые тай лы, Х — яванские
Единичная система записи
По-видимому, хронологически первая система записи чисел каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т. д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком — так возникают прообразы будущих цифр.
Целые числа и десятичные дроби
Раньше в техническом наборе существовала рекомендация не разбивать пробелом четырёхзначные числа, но эта норма просуществовала недолго, и в настоящее время пробелами рекомендуется разбивать и четырёхзначные числа тоже.
Не разбиваются пробелами числа, обозначающие год, номер (документов, например), марки машин и механизмов.
- ГОСТ 20289
- ВАЗ 21110
Число в философии
Философское понимание числа заложили пифагорейцы. Аристотель свидетельствует, что пифагорейцы считали числа «причиной и началом» вещей, а отношения чисел — основой всех отношений в мире. Числа придают миру упорядоченность и делают его космосом. Такое отношение к числу было принято Платоном, а позже неоплатониками. Платон при помощи чисел различает подлинное бытие (то, что существует и мыслится само по себе) и неподлинное бытие (то, что существует лишь благодаря другому и познаётся только в отношении). Срединное положение между ними занимает число. Оно придаёт меру и определённость вещам и делает их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть подвергнуты пересчёту и поэтому они могут быть мыслимы, а не только ощущаемы. Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно. Числа сверхсущны, пребывают выше Ума, и недоступны знанию. Неоплатоники различают божественные числа (прямую эманацию Единого) и математические числа (составленные из единиц). Последние являются несовершенными подобиями первых.
Аристотель, наоборот, приводит целый ряд аргументов, показывающих, что утверждение о самостоятельном существовании чисел приводит к нелепостям. Арифметика выделяет в этих реально сущих вещах только один аспект и рассматривает их с точки зрения их количества. Числа и их свойства являются результатом такого рассмотрения.
Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта. Число — одно из таких условий. Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования. Любой объект является исчислимым и измеряемым, потому что он сконструирован по схеме числа (или величины). Поэтому всякое явление может рассматриваться математикой. Разум воспринимает природу подчинённой числовым закономерностям именно потому, что сам строит её в соответствии с числовыми закономерностями. Так объясняется возможность применения математики в изучении природы.
Математические определения, разработанные в XIX веке, были серьёзно пересмотрены в начале XX века. Это было вызвано не столько математическими, сколько философскими проблемами. Определения, которые были даны Пеано, Дедекиндом или Кантором, и которые используются в математике и в настоящее время, нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природе знания. Различают три таких философско-математических подхода: логицизм, интуиционизм и формализм.
Ещё визуализации
Приведём ниже визуализации для операции возведения в степень для разных систем счисления, все они будут связанны с паттернами, образующимися в рациональных дробях 1/P, где P – это full reptend prime.
Остатки от деления, найденные в 6 системе счисления, связанные с числом 5.
Остатки от деления, найденные в 10 системе счисления, связанные с квадратом числа 3.
Остатки от деления, найденные в 12 системе счисления, связанные с числом 11.
Остатки от деления, найденные в 14 системе счисления, связанные с числом 13.
Остатки от деления, найденные в 18 системе счисления, связанные с числом 17.
Остатки от деления, найденные в 20 системе счисления, связанные с числом 19.
Остатки от деления, найденные в 26 системе счисления, связанные с квадратом числа 5.
Остатки от деления, найденные в 28 системе счисления, связанные с кубом числа 3.
Теперь приведём несколько картинок из ведических квадратов, принцип их формирования очень прост, потому ограничимся небольшим количеством:
Замкнутая фигура из 6 системы счисления, связана с числом 5.
Замкнутые фигуры из 8 системы счисления, связанные с числом 7.
Замкнутые фигуры из 12 системы счисления, связанные с числом 11.
Использование на монетах
На монетах в Европе индийские цифры впервые появляются в 976 году в Испании, где имелись непосредственные связи с арабами.
Улучшение алгоритма вычисления цифрового корня
При расчёте цифрового корня можно воспользоваться небольшой хитростью: если значение не равно нулю, и не равно основанию системы счисления – 1, можно получить значение цифрового корня просто операцией взятия остатка от деления на основание системы счисления – 1.
def digitalRoot(number, base):
if number == 0:
return 0
dR = number % (base – 1)
if dR == 0:
dR = base – 1
return dR
Системы записи чисел разных народов
Еврейская система записи в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400 (см. также Гематрия). Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.
Греческая система записи
Греческая система записи, также известная как ионийская или новогреческая — непозиционная система записи. Алфавитная запись чисел, в которой в качестве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита, а также некоторые буквы доклассической эпохи, такие как ϛ (стигма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи).
Римская система записи
Каноническим примером почти непозиционной системы записи является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.
На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:
IV = 4, в то время как:
VI = 6
Система счисления майя
Майя использовали 20-ичную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом
сразу следовало число
(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку
(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.
Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).
Кватернионы представляют собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается . Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.
В свою очередь октонионы , являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.
В отличие от октонионов, седенионы не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.
Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение:
p-адические числа можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел при помощи т. н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.
Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.
Образование циклических чисел при помощи ведической площади и остатков от деления
После того как мы получили латинский квадрат из ведического квадрата, пронумеруем его строки последовательно:
Пронумерованный латинский квадрат.
Перестановки в пронумерованном латинском квадрате, в результате мы получили циклическое число.
Как можно наблюдать, первый столбец теперь представляет собой циклическое число 142857.
Несмотря на плохую репутацию нумерологии, операции суммы цифр и цифрового корня имеют пусть не широкое, но всё же практическое применение.
Например, с помощью цифрового корня можно сформировать множество замкнутых n-вершинных звезд, многие из которых очень любят современные рокметал группы 🙂
Пентаграмма – в представлении не нуждается 🙂 Уроборос тут не случайно, о нем в следующей статье!
Tool предпочитают 8 систему счисления, связанную с простым числом 7.
Slipknot тяготеют к десятеричной системе счисления, связанной с квадратом числа 3.
Как можно видеть, многие метал группы тоже любят теорию чисел!
Но лично я для своей метал группы решил выбрать анимированный логотип, составленный из одновременной визуализации периодических дробей, образованных из 90 рациональных дробей 1/91.90/91:
Почему я выбрал число 91, которое является произведением 7 и 13? Речь об этом пойдет в следующей статье 🙂
Надеюсь, что вам было интересно, большое спасибо за внимание!
Цифры, числа и числительные
Время на прочтение
По следам хабралинча имени Рюмкина коснёмся темы правильного типографического оформления чисел. В голову пришли следующие темы, если что-то вдруг забыто — пишите в комментариях, добавлю в статью.
Ещё в комментариях к хабралинчу возникло интересное обсуждение согласования и управления при употреблении порядковых числительных, но это, как мне кажется, скорее отдельная тема для блога Пишу правильно.
Ниже представлена иерархия чисел, для множеств которых справедливо выражение , с примерами:
Данная иерархия не является полной, так как её можно расширять сколь угодно много раз (см. процедура Кэли — Диксона).
Порядковые числительные и числительные в составе сложных слов
Выведем вариацию таблицы умножения, для того чтобы исследовать эту операцию:
Расчет цифрового корня от двух множителей
Код для вывода таблицы умножения:
firstTermRangeStart = 1
firstTermRangeEnd = 8
secondTermRangeStart = 1
secondTermRangeEnd = 9
base = 10
for i in range(secondTermRangeStart, secondTermRangeEnd + 1):
print()
for j in range(firstTermRangeStart, firstTermRangeEnd + 1):
print(‘dr(‘,j,’*’, i, ‘) =’, digitalRoot(i * j, base), ‘ ‘, end=”)
Запишем значения для каждого множителя:
Можно увидеть, что последовательности разбиваются на пары 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5. В каждой из пар сохраняется та же самая последовательность, но они представляют собой реверсированные копии друг друга, за исключением последнего элемента, который связан с множителем, равным основанию системы счисления – 1.
Также отметим, что при умножении на основание системы счисления -1 цифровой корень будет равен основанию системы счисления – 1. При умножении на 1 значение цифрового корня второго множителя сохраняется.
Последовательности для множителей 1, 2, 3, 4. Они же являются зеркальными для 8, 7, 6, 5.
Последовательности можно рассмотреть как множество всех возможных замкнутых фигур с количеством точек, равным основанию системы счисления – 1, начиная с правильного n-угольника. Исключением является множитель, который не является взаимно простым с основанием системы счисления – 1, в данном случае это 3 и 6.
Для нахождения последовательности любой линии можно записать формулу:
Если записать эти значения как множество пересечений всех множителей, мы получим в результате ведический квадрат.
Ведический квадрат для десятичной системы счисления.
Подмножество данного ведического квадрата формирует собой латинский квадрат. Чтобы получить его, нужно вычеркнуть элементы, равные основанию системы счисления – 1.
Приведение ведического квадрата к латинскому квадрату в десятичной системе счисления.
В результате мы получим:
Подмножество ведического квадрата, составляющее латинский квадрат в десятичной системе счисления.
Если переставить некоторые из его строчек местами, мы получим последовательность циклических чисел. О том, каким образом должны быть осуществлены перестановки строчек, будет рассказано ниже при исследовании других операций с цифровым корнем.
Ниже приведена ещё одна картинка ведических квадратов для систем счисления 100 и 1000. Белым отмечены самые большие значения клеток – соответствующие основанию системы счисления – 1, черным – самые маленькие, соответствующие 1.
Ведические квадраты для систем счисления 100 и 1000.
Теперь вернемся к произведению. Цифровой корень произведения одиночных цифр в заданной системе счисления вычисляется при помощи соответствующего ведического квадрата.
Для вычисления цифрового корня произведения двух чисел, которые содержат больше одной цифры, для начала нужно вычислить цифровой корень каждой из этих цифр, и после этого воспользоваться ведической площадью.
Рассмотрим те числа, которые дают при делении непериодические дроби, это 2, 5, 4, 8.
Для того чтобы быть уверенными, что мы не допускаем ошибок, воспользуемся уже выведенными правилами и умножим результат деления на 1000; так как цифровой корень 1000 равен 1, то произведение будет иметь тот же самый цифровой корень.
Таблица деления для делителей, которые взаимно просты с десятичной системой счисления.
Тут бросаются в глаза несколько закономерностей. Число 9 не только при умножении, но и при делении приводит к значению цифрового корня, равному 9. Интересное происходит также с числами 3 и 6, эти числа как при умножении, так и при делении дают абсолютно одинаковые значения цифрового корня.
Запишем в таблицу череду делений:
Операция деления для цифрового корня определена только для делителей, которые не являются взаимно простыми с основанием системы счисления.
История развития понятия
Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более впоследствии усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.
Возможности воспроизведения чисел значительно увеличились с появлением письменности. Первое время числа обозначались чёрточками на материале, служащем для записи, например папирус, глиняные таблички, позже стали применяться специальные знаки для некоторых чисел (сохранившиеся до наших дней «римские цифры») и знаки для больших чисел. О последних свидетельствуют вавилонские клинописные обозначения или знаки для записи чисел в кириллической системе счисления. Когда в Индии появилась позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков (цифр), это стало большим достижением человека.
Со временем начинают применяться действия над числами, сначала сложение и вычитание, позже умножение и деление. В результате длительного развития сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от рассматриваемых предметов, о том, что, например, два предмета и семь предметов составляют девять предметов независимо от характера этих предметов. Когда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства и создавать методы решения задач, тогда начинает развиваться арифметика — наука о числах. Потребность в изучении свойств чисел как таковых проявляется в самом процессе развития арифметики, становятся понятными сложные закономерности и их взаимосвязи, обусловленные наличием действий, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных чисел и так далее. Тогда появляется раздел математики, который сейчас называется теория чисел. Когда было замечено, что натуральные числа могут характеризовать не только количество предметов, но и ещё могут характеризовать порядок предметов, расположенных в ряд, возникает понятие порядкового числа.
Вопрос об обосновании понятия натурального числа, столь привычного и простого, долгое время в науке не ставился. Только к середине XIX века под влиянием развития математического анализа и аксиоматического метода в математике, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Введение в употребление дробных чисел было вызвано потребностью производить измерения и стало исторически первым расширением понятия числа.
Введение отрицательных чисел
В Средние века были введены отрицательные числа, с помощью которых стало легче учитывать долг или убыток.
Необходимость введения отрицательных чисел была связана с развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Отрицательные числа систематически применялись при решении задач ещё в VI—XI веках в Индии и истолковывались примерно так же, как это делается в настоящее время.
После того, как Декарт разработал аналитическую геометрию, позволившую рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, что окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, отрицательные числа окончательно вошли в употребление в европейской науке.
Введение действительных чисел
Ещё в Древней Греции в геометрии было совершено принципиально важное открытие: не всякие точно заданные отрезки соизмеримы, другими словами, не у каждого отрезка длина может быть выражена рациональным числом, например сторона квадрата и его диагональ. В «Началах» Евклида была изложена теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. В Древней Греции умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия в геометрической форме. Хотя греки обращались с такими отношениями, как с числами, они не осознали, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как число. Это было сделано в период зарождения современной математики в XVII веке при разработке методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. И. Ньютон во «Всеобщей арифметике» даёт определение понятия действительного числа: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Позже, в 1870-х годах, понятие действительного числа было уточнено на основе анализа понятия непрерывности Р. Дедекиндом, Г. Кантором и К. Вейерштрассом.
Введение комплексных чисел
С развитием алгебры возникла необходимость введения комплексных чисел, хотя недоверие к закономерности пользования ими долго сохранялось и отразилось в сохранившемся до сих пор термине «мнимое». Уже у итальянских математиков XVI века (Дж. Кардано, Р. Бомбелли), в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней, возникла идея комплексного числа. Дело в том, что даже решение квадратного уравнения, в том случае, если уравнение не имеет действительных корней, приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Казалось, что задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, не имеет решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось, что в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными, по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.
Операция вычитания
Формула похожа на предыдущую, однако совпадает не полностью.
Приведем контрпример: 455 – 123 = 332.
Как можно отметить, выражение 4 – 6 не даёт в результате 8, потому формулу сложения нужно модифицировать, чтобы она работала для операции вычитания:
Применение цифровой суммы
Цифровые суммы применялись при расчёте контрольных сумм для проверки арифметических операций ранних компьютеров. Ранее, в эпоху ручного счета, Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил использовать суммы 50 цифр, взятых из математических таблиц логарифмов, в качестве формы генерации случайных чисел; если предположить, что каждая цифра случайна, то по центральной предельной теореме эти цифровые суммы будут иметь случайное распределение, близкое к гауссову распределению.
Цифровая сумма двоичного представления числа известна как вес Хэмминга или численность населения. Алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена в качестве встроенной операции в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования. Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптографию, теорию кодирования и компьютерные шахматы.
Представление чисел в памяти компьютера
подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой
Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел часто используется дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.
Представление чисел в памяти компьютера имеет ограничения, связанные с ограниченностью объёма памяти, выделяемого под числа. Даже натуральные числа представляют собой математическую идеализацию, ряд натуральных чисел бесконечен. На объём же памяти ЭВМ накладываются физические ограничения. В связи с этим в ЭВМ мы имеем дело не с числами в математическом смысле, а с некоторыми их представлениями, или приближениями. Для представления чисел отводится некоторое определённое число ячеек (обычно двоичных, бит — от BInary digiT) памяти. В случае, если в результате выполнения операции полученное число должно занять больше разрядов, чем отводится в ЭВМ, результат вычислений становится неверным — происходит так называемое арифметическое переполнение. Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа.
Операция сложения
Сделаем небольшую таблицу, для того чтобы изучить закономерности, каким образом вычисляется цифровой корень суммы двух чисел:
Таблица для анализа операции цифрового корня суммы двух чисел.
Код для построения таблицы суммы:
firstTermRangeStart = 2
firstTermRangeEnd = 8
secondTermRangeStart = 1
secondTermRangeEnd = 9
base = 10
for j in range(firstTermRangeStart, firstTermRangeEnd + 1):
print()
for i in range(secondTermRangeStart, secondTermRangeEnd + 1):
if i % (secondTermRangeEnd + 1) == 0:
print()
print(‘dr(‘,j,’+’, i, ‘) =’, digitalRoot(j + i, base), ‘ ‘, end=”)
Как можно увидеть, цифровой корень суммы чисел равен цифровому корню суммы цифровых корней этих чисел:
В древнейшие времена числа обозначались прямолинейными пометками («палочками»); одна палочка изображала единицу, две палочки — двойку и т. д. Этот способ записи происходит от зарубок. Он и поныне сохранился в «римских цифрах» для изображения чисел 1, 2, 3. Индийское происхождение «арабских цифр» было признано в науке лишь в XIX веке. Первым учёным, высказавшим эту, для того времени новую, мысль, был русский востоковед Георгий Яковлевич Кер (1692—1740). Кер с 1731 года служил в Москве переводчиком коллегии иностранных дел.
Простые дроби
Напомню, что простой (обыкновенной, арифметической) дробью называется число, составленное из целого числа долей единицы. Например, ½ или ¾. Тяжёлое машинописное наследие отражается и в компьютерном наборе простых дробей, которые обычно набирают обычными цифрами через косую черту: «1/2», «3/4».
Дробная часть числа не отбивается пробелом от целой части: 6½, 1¾.
В классической типографике дробь набирается через дробную черту (она имеет более пологий наклон, чем косая черта, которая у нас всех есть на клавиатурах), числитель помещается на верхнюю линию шрифта, а знаменатель — на нижнюю. К счастью, шрифты и программное обеспечение с поддержкой Unicode дают нам уникальную возможность пользоваться этими правилами.
Диапазоны
В данной статье речь пойдёт о таких понятиях теории чисел, как цифровой корень и ведический квадрат.
Данная статья ничего не говорит о нумерологии, кроме того, что это псевдонаучная концепция.
Цель данной статьи: показать математические закономерности вокруг вычисления цифрового корня и его связь с циклическими числами.
Операция возведения в степень
Таблица возведения в степень:
Таблица возведения в степень в десятичной системе счисления.
base = 10
.
for i in range(2, base – 2):
print()
for j in range(1, base – 1):
print(‘dr(‘, j ,’^’, i, ‘) =’, digitalRoot(i ** j, base), ‘ ‘, end=”)
Здесь мы можем наблюдать цикличность.
При внимательном рассмотрении других систем счисления можно сделать вывод, что эта череда связана с формированием остатков от деления, и таким образом она связалась с моим любимым классом простых чисел – full reptend prime.
Для того чтобы пояснить это, рассмотрим операции возведения в степень в других системах счисления. Забегая вперед, скажу: наиболее интересными будут являться такие степени счисления, которые равны p^n + 1, где p — это простое число, а n – натуральное.
Последовательность полученная при возведении в степень, в восьмеричной системе счисления.
Это свойство связано с тем, что вычисление цифрового корня можно осуществить при помощи альтернативной формулы расчета цифрового корня:
Буквенные сокращения (тысяча, миллион, миллиард)
Цифровой корень натурального числа в заданной системе счисления — это значение, получаемое итеративным расчётом суммы цифр, где на первой итерации происходит расчёт суммы цифр натурального числа, а на каждой следующей – расчёт суммы цифр результата предыдущей итерации. Операция выполняется до тех пор, пока вычисленное значение не становится меньше заданной системы счисления, т.е. до тех пор, пока оно не равняется одной-единственной цифре.
Аддитивная стойкость натурального числа — это количество итераций, на которых нужно применить операцию суммы цифр, для того чтобы получить цифровой корень.
Пример: Цифровая сумма числа 142857 равна 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27
Цифровая сумма числа 27 равна 2 + 7 = 9
Как следствие, цифровой корень числа 142857 = 9, аддитивная стойкость 142857 = 2.
Код для вычисления цифрового корня в произвольной системе счисления на языке Python:
Минускульные и маюскульные цифры
Тот внешний вид арабских цифр, к которому мы привыкли, имеющих рост прописных букв и стоящих на базовой линии шрифта, появился только в конце XVIII века. До этого были общеприняты цифры со свисающими элементами. Цифры первого типа называются «маюскульными» или «прописными» (по-английски — lining или titling), а второго — «минускульными», «строчными» или «старостильными» (по-английски — old-style, text, non-lining, lowercase, ranging, или hanging). Если в дореволюционной типографике минускульные цифры худо-бедно использовались в текстовом наборе, то в советской типографике их уделом остались редкая акциденция и редкие же титульные листы. Лично я впервые увидел минускульные цифры в текстовом наборе в 1991 году во «Властелине колец», набранном гарнитурой Гарамон.
Кстати, если в названии шрифта в конце стоят буквы «OSF», это означает, что шрифт имеет минускульные цифры (oldstyle figures) по умолчанию. « LF» обычно означает маюскульные цифры (lining figures).
Кроме того, различают моноширинные и пропорциональные цифры. Первые используются для табличного набора, а вторые — для текстового.
Различные виды цифр в шрифте Microsoft Constantia
На картинке светло-серым обозначена кегельная площадка шрифта, а более тёмным — высота строчных знаков (x-height).
Внешний вид моноширинных и пропорциональных цифр в табличном наборе
Здесь можно видеть отличие внешнего вида маюскульных, минускульных, пропорциональных и моноширинных цифр в одном и том же шрифте. Ширина цифр, в зависимости от шрифта, может варьироваться как только засчёт апрошей, так и засчёт изменения ширины цифр.
Минускульные цифры хороши для текстового набора художественных или других неспециальных изданий, где в тексте цифры встречаются только изредка (в этом смысле упомянутый «Властелин колец» — хороший пример правильного использования минускульных цифр). Маюскульные цифры удобны для использования в таблицах, изданиях с большим количеством чисел в тексте (биржевая аналитика, финансовые отчёты, планы и так далее).
Различные рисунки цифр доступны только в некоторых шрифтах, да и то могут использоваться только программным обеспечением, поддерживающим технологию OpenType (например, на это способны дизайнерские пакеты от Adobe). Дело в том, что минускульные и маюскульные цифры не имеют различных кодов в Unicode, так как представляют просто разное начертание одних и тех же знаков. Поэтому поддержки Unicode для отображения различных рисунков цифр недостаточно.
Минускульные и маюскульные цифры в веб-типографике
К сожалению, браузеры пока неспособны выбирать рисунок цифр по требованию дизайнера. И даже текущий драфт CSS3 такой возможности не предполагает. Поэтому дизайнеру остаётся довольствоваться настройками шрифтов по умолчанию.
Из «стандартных» веб-типографических шрифтов минускульные (пропорциональные) цифры по умолчанию предлагает только шрифт Georgia. Все остальные — Impact, Lucida, Palatino, Tahoma, Times New Roman, Trebuchet и Verdana по умолчанию используют маюскульные моноширинные цифры. Особняком стоит удивительный Arial, который в обычном и в узком начертании имеет узкую единицу и все остальные цифры одинаковой ширины. Выходит, «ни нашим, ни вашим».
Стоит отдельно упомянуть действительно неплохие новые шрифты Microsoft, поставляющиеся с Windows Vista. Все они, Constantia, Corbel, Calibri, Cambria, Candara и Consolas имеют в своём составе как минускульные, так и маюскульные начертания цифр. Больше всего удивил моноширинный Consolas, конечно. По умолчанию маюскульные цифры стоят в Calibri, Cambria и Consolas, а минускульные — в Constantia, Corbel и Candara. Если Apple станет поставлять эти шрифты с системой (вдруг, когда-нибудь), то у веб-типографов появится хоть какой-то выбор в контексте рисунка цифр.