Вопросы к параграфу
Решаем устно1. На сколько:
- 18 больше 6— на 12 (18 — 6 = 12)
- 4 меньше 12— на 8 (12 — 4 = 8)
Во сколько раз:
- 18 больше 6 — в 3 раза (18 : 6 = 3)
- 4 меньше 12 — в 3 раза (12 : 4 = 3)
- 12 • 5 + 1 = 60 + 1 = 61
- 12 • 5 — 1 = 60 — 1 = 59
- 12 • (5 + 1) = 12 • 6 = 72
- 12 • (5 — 1) = 12 • 4 = 48
- 12 : (5 + 1) = 12 : 6 = 2
- 12 : (5 — 1) = 12 : 4 = 3
Назовите пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:
- 423 — 423, 424, 425, 426, 427
- 1 658— 1 658, 1 659, 1 660, 1 661, 1 662
- 2 997— 2 997, 2 998, 2 999, 3 000, 3 001
Назовите в обратном порядке пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:
- 358— 358, 357, 356, 355, 354
- 1 573— 1 573, 1 572, 1 571, 1 570, 1 569
- 4 001— 4 001, 4 000, 3 999, 3 998, 3 997
Назовите все четырёхзначные числа, сумма цифр которых равна 2. 1001, 1010, 1100, 20007. Двузначное число оканчивается цифрой 4. Если к этому числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим число 99. Найдите эти два числа.
Запишем известное, как пример в столбик
Ответ: первое искомое число 54, а второе число 45. Упражнения17. Назовите разряд, в котором стоит цифра 4 в записи числа:
- 34— разряд единиц
- 246— разряд десятков
- 473— разряд сотен
- 24 569— разряд единиц тысяч
- 234 642— двести тридцать четыре тысячи шестьсот сорок два
- 502 013 — пятьсот две тысячи тринадцать
- 9 145 679— девять миллионов сто сорок пять тысяч шестьсот семьдесят десять
- 105 289 001 — сто пять миллионов двести восемьдесят девять тысяч один
- 6 704 917 320— шесть миллиардов семьсот четыре миллиона девятьсот семнадцать тысяч триста двадцать
- 72 016 050 400— семьдесят два миллиарда шестнадцать миллионов пятьдесят тысяч четыреста
- 491 872 653 000— четыреста девяносто один миллиард восемьсот семьдесят два миллиона шестьсот пятьдесят три тысячи
- 305 002 800 748 — триста пять миллиардов два миллиона восемьсот тысяч семьсот сорок восемь
Запишите десятичной записью число:
- 34 миллиона 384 тысячи 523— 34 384 523
- 85 миллионов 128 тысяч 23 — 85 128 023
- 16 миллионов 26 тысяч 4 — 16 026 004
- 6 миллионов 60 тысяч 17— 6 060 017
- 8 миллиардов 801 миллион 30 тысяч 5— 8 801 030 5
- 22 миллиарда 33 миллиона 418— 22 033 000 418
- 251 миллиард 538— 251 000 000 538
- 46 миллиардов 854 — 46 000 000 854
- 607 миллиардов 3— 607 000 000 003
- 23 миллиона 275 тысяч 649 — 23 275 649
- 56 миллионов 319 тысяч 48 — 56 319 048
- 12 миллионов 20 тысяч 21— 12 020 021
- 8 миллионов 7 тысяч 3— 8 007 003
- 6 миллиардов 325 миллионов 800 тысяч 954 — 6 325 800 000
- 14 миллиардов 52 миллиона 819— 14 052 000 819
- 368 миллиардов 742 тысячи — 368 000 742 000
- 92 миллиарда 29 — 92 000 000 029
- сорок шесть миллиардов четыреста пятьдесят семь миллионов семьсот двадцать семь тысяч триста восемьдесят восемь— 46 457 727 388
- шестьсот тридцать два миллиарда двести четыре миллиона тридцать пять тысяч сорок семь— 632 204 035 047
- сто пять миллиардов пятьсот тридцать девять тысяч сто— 105 000 538 100
- тридцать миллиардов двадцать тысяч девяносто— 30 000 020 090
- восемь миллиардов семь миллионов пятнадцать тысяч четырнадцать— 8 007 015 014
- один миллиард две тысячи два— 1 000 002 002
- три миллиона триста тридцать три тысячи триста тридцать три— 3 333 333
- три миллиона триста тысяч— 3 300 000
- три миллиона тридцать— 3 000 030
- три миллиона три— 3 000 003
- шестьдесят восемь миллиардов двести сорок девять миллионов девятьсот пятьдесят четыре тысячи семьсот двадцать три — 68 249 954 723
- восемьсот четырнадцать миллиардов сто девять миллионов две тысячи тридцать два— 814 109 002 032
- триста семь миллиардов шестьсот двадцать одна тысяча четыреста — 307 000 621 400
- девяносто миллиардов десять тысяч двадцать — 90 000 010 020
- два миллиарда три миллиона четыре тысячи пять— 2 003 004 005
- один миллиард одна тысяча один— 1 000 001 001
Запишите и прочитайте число, которое образуется, если записать число 514 подряд:
- два раза— 514 514 — пятьсот четырнадцать тысяч пятьсот четырнадцать
- три раза— 514 514 514 — пятьсот четырнадцать миллионов пятьсот четырнадцать тысяч пятьсот четырнадцать
- четыре раза— 514 514 514 514 — пятьсот четырнадцать миллиардов пятьсот четырнадцать миллионов пятьсот четырнадцать тысяч пятьсот четырнадцать
Запишите и прочитайте число, которое образуется, если записать число 48 подряд:
- два раза — 4 848 — четыре тысячи восемьсот сорок восемь
- три раза— 484 848 — четыреста восемьдесят четыре тысячи восемьсот сорок восемь
- четыре раза — 48 484 848 — сорок восемь миллионов четыреста восемьдесят четыре тысячи восемьсот сорок восемь
- пять раз— 4 848 484 848 — четыре миллиарда восемьсот сорок восемь миллионов четыреста восемьдесят четыре тысячи восемьсот сорок восемь
Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:
- 846 = 8 • 100 + 4 • 10 + 6 • 1
- 2 375 = 2 • 1 000 + 3 • 100 + 7 • 10 + 5 • 1
- 12 619 = 1 • 10 000 + 2 • 1 000 + 6 • 100 + 1 • 10 + 9 • 1
- 791 105 = 7 • 100 000 + 9 • 10 000 + 1 • 1 000 + 1 • 100 + 0 • 10 + 5 • 1
- 32 598 009 = 3 • 10 000 000 + 2 • 1 000 000 + 5 • 100 000 + 9 • 10 000 + 8 • 1 000 + 0 • 100 + 0 • 10 + 9 • 1
- 540 007 020 = 5 • 100 000 000 + 4 • 10 000 000 + 0 • 1 000 000 + 0 • 100 000 + 0 • 10 000 + 7 • 1 000 + 0 • 100 + 2 • 10 + 0 • 1
- 34 729 = 3 • 10 000 + 4 • 1 000 + 7 • 100 + 2 • 10 + 9 • 1
- 75 194 = 7 • 10 000 + 5 • 1 000 + 1 • 100 + 9 • 10 + 4 • 1
- 478 254 = 4 • 100 000 + 7 • 10 000 + 8 • 1 000 + 2 • 100 + 5 • 10 + 4 • 1
- 189 390 = 1 • 100 000 + 8 • 10 000 + 8 • 1 000 + 3 • 100 + 9 • 10 + 0 • 1
- 23 487 901 = 2 • 10 000 000 + 3 • 1 000 000 + 4 • 100 000 + 8 • 10 000 + 7 • 1 000 + 9 • 100 + 0 • 10 + 1 • 1
- 140 028 045 = 1 • 100 000 000 + 4 • 10 000 000 + 0 • 1 000 000 + 0 • 100 000 + 2 • 10 000 + 8 • 1 000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 5 • 1
Запишите число, которое:
- на 1 меньше наименьшего трёхзначного числа— наименьшее трёхзначное число — это 100, 100 — 1 = 99
- на 4 больше наибольшего трёхзначного числа— наибольшее трёхзначное число — это 999, 999 + 4 = 1 003
- на 5 меньше наименьшего пятизначного числа— наименьшее пятизначное число — это 10 000, 10 000 — 5 = 9 995
- на 6 больше наибольшего шестизначного числа— наибольшее шестизначное число — это 999 999, 999 999 + 6 = 1 000 005
- на 7 больше наименьшего восьмизначного числа — наименьшее восьмизначное число — это 10 000 000, 10 000 000 + 7 = 10 000 007
Запишите наибольшее восьмизначное число, а также следующее и предыдущее числа.
- наибольшее восьмизначное число — 99 999 999
- следующее за ним число — 99 999 999 + 1 = 100 000 000
- предыдущее ему число — 99 999 999 — 1 = 99 999 998
Запишите наименьшее семизначное число, а также следующее и предыдущее числа.
- наименьшее семизначное число — 1 000 000
- следующее за ним число — 1 000 000 + 1 = 1 000 001
- предыдущее ему число — 1 000 000 — 1 = 999 999
Двузначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное четырёхзначное число больше данного двузначного числа?Возьмём три произвольных двузначных числа. Например: 12, 54 и 61. Из них получатся четырехзначные числа: 1 212, 5 454 и 6 161 соответственно. Посчитаем, во сколько раз полученные четырёхзначные числа больше исходных двузначных:
Такое соотношение будет справедливо для всех без исключения двухзначных чисел. Ответ: в 101 раз. Трёхзначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное шестизначное число больше данного трёхзначного числа?Возьмём три произвольных трёхзначных числа. Например: 352, 423 и 801. Из них получатся шестизначные числа: 352 352, 423 423 и 801 801. Посчитаем, во сколько раз полученные шестизначные числа больше исходных трёхзначных:
Такое соотношение будет справедливо для всех без исключения трёхзначных чисел. Ответ: в 1 001 раз. В книге пронумерованы страницы с первой по сто семьдесят вторую. Сколько цифр напечатано при нумерации страниц?Посчитаем, сколько в книге страниц с однозначными номерами, с двузначными и с трехзначными номерами:
- однозначные номера — с 1 по 9 страницу, то есть 9 страниц — 1 • 9 = 9 (цифр) — использовано для нумерации страниц с однозначными номерами;
- двузначные номера — с 10 по 99 страницу, то есть 90 страниц — 2 • 90 = 180 (цифр) — использовано для нумерации страниц с двузначными номерами;
- трёхзначные номера — с 100 по 172 страницу, то есть 73 страницы — 3 • 73 = 219 (цифр) — использовано для нумерации страниц с трёхзначными номерами.
Теперь найдём сумму цифр, использованных для однозначных, двузначных и трёхзначных номеров:9 + 180 + 219 = 408 (цифр) — напечатано при нумерации книги. Ответ: 408 цифр. Для нумерации страниц книги напечатано 2 004 цифры. Сколько страниц в этой книге?Допустим, что нумерация в книге начинается с 1 страницы. Для того, чтобы пронумеровать все страницы с однозначными номерами (с 1 по 9) потребуется 9 цифр:1) 1 • 9 = 9 (цифр) — использовано для нумерации страниц с однозначными номерами. Для того, чтобы пронумеровать все страницы с двузначными номерами (с 10 по 99) потребуется 180 цифр:2) 2 • 90 = 180 (цифр) — использовано для нумерации страниц с двузначными номерами. 3) 2 004 — 180 — 9 = 1 815 (цифр) — осталось для нумерации остальных страниц. Максимально возможное число страниц с трёхзначными номерами (с 100 по 999) — 900 штук. На такое количество страниц потребовалось бы 2700 цифр4) 3 • 900 = 2 700 (цифр) — потребуется для нумерации максимального количества страниц с трёхзначными номерами. 5) 1 815 < 2 700, значит все оставшиеся страницы трёхзначные. 6) 1 815 : 3 = 605 (страниц) — количество страниц с трёхзначными номерами. Сложим количество страниц с однозначными, двузначными и трёхзначными номерами:7) 9 + 90 + 605 = 704 (страницы) — в книге. Ответ: в книге 704 страницы. Каких трёхзначных чисел больше: все цифры которых чётные или все цифры которых нечётные?Все трёхзначные числа состоят их трёх цифр:
- цифры, обозначающей сотни;
- цифры, обозначающей десятки;
- цифры, обозначающей единицы.
Если использовать для написания только чётные цифры, то:
- сотни могут быть обозначены цифрами: 2, 4, 6, 8 — 4 варианта, так как с цифры 0 число начинаться не может;
- десятки могут быть обозначены цифрами: 0, 2, 4, 6, 8 — 5 вариантов;
- единицы могут быть обозначены цифрами: 0, 2, 4, 6, 8 — 5 вариантов.
Если использовать для написания только нечётные цифры, то:
- сотни могут быть обозначены цифрами: 1, 3, 5, 7, 9 — 5 вариантов;
- десятки могут быть обозначены цифрами: 1, 3, 5, 7, 9 — 5 вариантов;
- единицы могут быть обозначены цифрами: 1, 3, 5, 7, 9 — 5 вариантов.
Для того, чтобы узнать сколько трёхзначных чисел можно написать только чётными или только нечётными цифрами, надо перемножить количество всех возможных вариантов обозначения сотен, десяткой и единиц.
- 4 • 5 • 5 = 20 • 5 = 100 (вариантов) — записи трёхзначных чисел только чётными цифрами.
- 5 • 5 • 5 = 25 • 5 = 125 (вариантов) — записи трёхзначных чисел только нечётными цифрами.
125 > 100, значит больше трёхзначных чисел, в записи которых используются только нечетные цифры. Ответ: больше трёхзначных чисел, в записи которых используются только нечетные цифры. Упражнения для повторения
Первый полёт в космос совершил в 1961 г. гражданин Советского Союза Юрий Гагарин. Через восемь лет после этого на Луну ступил первый человек — гражданин США Нейл Армстронг. Ещё через 31 год на Международной космической станции (МКС) начал работать первый экипаж. Сколько лет работают космонавты на МКС?1) 1961 + 8 = 1969 (год) — год первого полёта человека на Луну. 2) 1969 + 31 = 2000 (год) — год начала работы первого экипажа на Международной космической станции МКС. 3) 2020 — 2000 = 20 (лет) — космонавты работают на Международной космической станции МКС. Ответ: 20 лет. Масса булавы Ильи Муромца равна 60 пудов, а его меча — в 12 раз меньше. Какова общая масса булавы и меча Ильи Муромца?
1) 60 : 12 = 5 (пудов) — масса меча Ильи Муромца. 2) 60 + 5 = 65 (пудов) — общая масса меча и булавы. Ответ: 65 пудов. Чтобы помочь заболевшему Карабасу-Барабасу, Дуремар решил поставить ему пиявки. Для первой процедуры он использовал 24 пиявки, а для второй — в 3 раза больше. Сколько всего пиявок понадобилось Дуремару, чтобы вылечить Карабаса-Барабаса?
1) 24 • 3 = 72 (пиявки) — понадобилось для второй процедуры. 2) 24 + 72 = 96 (пиявок) — всего понадобилось для лечения. Ответ: 96 пиявок. Вертолёт за 4 ч может пролететь 720 км. Какое расстояние он пролетит за 6 ч с той же скоростью?Составим краткую запись в виде таблицы:1) 720 : 4 = 180 (км/ч) — скорость движения вертолёта. 2) 180 • 6 = 1 080 (км) — пролетит вертолёт за 6 часов. Ответ: 1 080 км.
- Для того чтобы найти скорость движения, надо расстояние разделить на время (v = s : t).
- Для того, чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время (s = v • t).
За три дня кузнец Вакула изготовил 432 подковы. Сколько подков он изготовит за пять дней, работая с такой же производительностью?
1) 432 : 3 = 144 (подковы/день) — производительность кузнеца Вакулы. 2) 144 • 5 = 720 (подков) — Вакула изготовит за 5 дней. Ответ: 720 подков.
- Для того чтобы найти производительность, надо работу разделить на время .
- Для того, чтобы найти выполненную работу, надо производительность умножить на время.
Задача от мудрой совы43. В этом году день рождения отца был в воскресенье. В какой день недели праздновала свой день рождения мать, если она на 62 дня моложе отца?Мы знаем, что каждая неделя состоит из 7 дней:
- 1 неделя = 7 дней
- 2 недели = 14 дней
- 3 недели = 21 день
- 4 недели = 28 дней
- 5 недель = 35 дней
- 6 недель = 42 дня
- 7 недель = 49 дней
- 8 недель = 56 дней
Это значит, что 62 дня — это 8 полных недель и 6 дней. До полной недели не хватило 1 дня, то есть день рождения мамы был за один день до воскресенья — в субботу. Ответ: в субботу.
Вы никогда не задумывались над тем, как называются цифры, которые мы используем? А зря! Во-первых, это очень интересно и увлекательно. Во-вторых, знание научных фактов способствует расширению кругозора и эрудиции. И в-третьих, наш духовный мир становится богаче! Данная статья будет полезна не только школьникам и их родителям, а также и студентам.
Общепринятое заблуждение
Прежде чем узнать, как называются цифры, которые мы используем, давайте разберемся сначала в том, кто же их придумал. В мире неграмотных людей бродит распространенное заблуждение, из-за которого ошибочно считают, что арабские цифры изобрели арабы. Человечество уже много веков пишет цифры римские и арабские. Но на самом деле современные цифры и их запись, которые мы применяем, пришли к нам из Индии, а не из арабского мира. Но пока еще рано говорить о том, как называются цифры, которые мы используем.
Находчивые индусы
Около пятого века в Индии изобрели запись самых разных чисел с выделением десятков. Ученый Ариабхата описал десятичную систему исчисления в трактате об астрономии «Ариабхатиан». Через сто лет другой индийский ученый и мыслитель Брахмагупта свободно использовал достижения своих предков в области математики, в том числе и понятие нуля. Другие народы, конечно, далеко отошли от первобытной системы исчисления. Они уже могли делить на «один», «два» и «много», но только находчивые индусы догадались изобрести число, обозначающее «ничего» (шунья), то есть нуль. А мы с вами продолжаем исследовать вопрос о том, как называются цифры, которые мы используем.
Заслуга арабов
Расположения к себе арабы добились лишь потому, что смогли перенять индийскую запись числа. Позже эта форма попала в Северную Африку, Испанию, а затем и в Европу. Происхождение каждой из девяти арабских цифр хорошо видно, если их записывать в угловатой форме. Названия цифр обозначают то количество углов, из которых состоит записанная цифра.
Современные формы чисел
Формы, которые мы используем в современном мире, появились в результате упрощения записи арабских угловатых цифр. Каждый из нас сегодня пользуется скругленной арабской цифрой для того, чтобы их было писать удобно, легко и быстро.
В нашем государстве они появились благодаря Петру Великому. В это же время слово «цифра» вошло в лексический состав русского языка. Оно имеет арабское происхождение, однако в наш язык попало из европейских языков. А вот у арабов эта лексема обозначала «нуль», или пустое место.
Заключение
Из нашей статьи вы узнали о том, как называются цифры, которые мы используем. Теперь вы с легкостью можете ответить на этот вопрос, а также рассказать удивительную историю о том, что их придумали вовсе не арабы, а индусы.
Заслуга арабов заключается лишь в том, что они со знанием дела оценили все достоинства записи именно индийских чисел, а также смогли четко обозначить каждую цифру. Если в арабском тексте мы прочитаем цифры, то наверняка ошибемся. Ведь они пишут справа налево! Римские цифры, по мнению арабов, как и греческие, были неудобны, так как имели очень длинные записи. Когда было необходимо перемножить многозначные числа, то операция становилась невозможной, если запись выполняли при помощи греческой или римской нумерации.
Очень долгое время индийские цифры «кочевали» по разным странам, они претерпевали множество изменений в начертаниях, однако система исчисления остается прежней спустя столетия!
Возможно, многие считают, что арабские цифры придуманы арабами лишь только потому, что само слово «цифра» имеет арабские корни.
На сегодняшний день это вся информация. Возможно, археологи проведут какие-либо раскопки, которые прольют больше света на эту запутанную историю о древних цифрах.
Как здания строят из кирпичей, а слова складывают из букв, так натуральные числа записывают с помощью специальных знаков, которые называют цифрами. Этих цифр десять:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Легко прочитать трехзначное число 917, однако число 17025543607 прочитать намного сложнее. Чтобы прочитать многозначное число, цифры его записи разбивают справа налево на группы по три цифры: 17 025 543 607 (при этом крайняя слева группа может состоять из трех цифр, из двух, как в данном примере, или из одной цифры). Эти группы называют классами. Первый справа класс называют классом единиц, второй справа − классом тысяч, третий − классом миллионов, четвертый − классом миллиардов и т.
При чтении многозначного числа число, записанное в каждом классе, читают как трехзначное, двузначное или однозначное, добавляя при этом название класса (как правило, название класса единиц не произносят). Число 17 025 543 607 читают: “17 миллиардов 25 миллионов 543 тысячи 607”.
Каждый класс разбивается справа налево на три разряда: единицы, десятки, сотни.
Так в приведенном примере в классе единиц 7 единиц, 0 десятков, 6 сотен, а в классе миллионов − 5 единиц, 2 десятка, 0 сотен. Названия всех разрядов числа 17 025 543 607 приведены в следующей таблице.
Запись натуральных чисел, который мы пользуемся, называют десятичной. Такое название связано с тем, что десять единиц каждого разряда составляют одну единицу следующего разряда, старшего разряда. Например, десять единиц составляют один десяток, десять десятков − одну сотню и т.
Число 2 958 можно представить в виде суммы:
2 958 = 2 000 + 900 + 50 + 8
2 958 = 2 * 1 000 + 9 * 100 + 5 * 10 + 8 * 1.
Последнее равенство называют записью числа 2 958 в виде суммы разрядных слагаемых.
– 2, 0, 1, 7, 2, 0, 1, 7, 2, 0, 1, – бурчал
себе под нос Саша.
– Чем это ты тут занимаешься? – спросил Паша.
– Хочу научиться красиво писать цифры, –
ответил Саша.
– Саша, смотри, какое интересное число у тебя
получилось, – провозгласил Паша. – А ты можешь его прочитать? – спросил он у
Саши.
– Нет, Саша! – перебил Паша. – Ты просто
перечисляешь записанные цифры, а назвать число – это совсем по-другому. Вот как
ты думаешь, что общего между буквами и цифрами?
– Не знаю, – прозвучал ответ Саши. – Может,
только если одни и другие мы учим в школе?
– Ну почти! – сказал Паша. – Буквы и цифры –
это знаки, которые придумали для записи. Так, например, из букв можно записать
слово, а вот из цифр – число. У тебя из цифр тоже получилось число, которое
имеет своё имя.
– Правда? – удивился Саша. – И как же его
зовут?
– Ты знаешь, я немного забыл, как правильно
его назвать, – стушевался Паша. – Но я точно знаю, кто нам может помочь!
– Ребята, прежде, чем я вам поведаю свой
рассказ о цифрах, числах и ещё кое о чём интересном, хочу, чтобы вы немного
размялись и выполнили устные задания, – предложил Электроша.
– Давайте сверимся! – сказал Электроша. – Посмотрите, что у вас должно было получиться!
– Ну а теперь давайте поговорим о числах, –
предложил Электроша. – Вы уже знаете, что в алфавите
русского языка существует 33 буквы и из них можно составить огромное множество
слов.
Цифры в математике выполняют такую же роль,
как и буквы в русском языке. Только из цифр составляют различные числа.
Правда, цифр гораздо меньше, чем букв. Их
всего лишь 10:
– Так мало? –удивился Саша.
– Цифр-то мало, а вот составить из них чисел
можно сколько угодно! – продолжил Электроша.
– А вы знаете, что цифры изобрели
давным-давно? – спросил у мальчиков Электроша. Это
произошло в Индии ещё в VI веке. Правда, сами цифры принято называть
арабскими.
– Арабскими? – удивился Паша. – Но ведь ты же
сказал, что цифры придумали в Индии? А значит, их нужно называть индийскими!
– Всё правильно Паша! – улыбнулся Электроша, – придумали то их в Индии, но к нам цифры пришли
от арабов, которые подсмотрели их у индийцев, поэтому-то их и стали называть
арабскими.
– А теперь поговорим о том, как называют
числа! – продолжил Электроша. От количества цифр
(знаков) в числе зависит его название. Так, например, если число состоит из
одной цифры, то его называют однозначным.
– Такое смешное название! – ухмыльнулся Саша.
– Да, да, одна цифра – один знак, поэтому и
однозначное, – продолжил Электроша. –Самое
маленькое однозначное натуральное число – 1, а самое большое – 9.
Кроме однозначных чисел, есть и многозначные. Если число состоит из двух цифр, то его называют двузначным числом.
– Вот вы, мальчики, можете назвать самое
маленькое и самое большое двузначное натуральное число? – спросил Электроша.
– Конечно! – обрадовались мальчишки. – Это же
легче лёгкого!
– Самое
маленькое двузначное число – это 10, – сказал Паша.
– Верно! – подтвердил Электроша.
– А вот самое большое двузначное число – это 90!
– воскликнул Саша.
– Нет, нет, – исправил Сашу Электроша. Самое большое двузначное число – 99. А вот
следом за ним уже идёт наименьшее трёхзначное натуральное число –
100. Число сто записано тремя цифрами, поэтому его называют трёхзначным.
Запомните! Многозначное число может начинаться с любой
цифры, кроме цифры ноль.
Каждая цифра в записи многозначного числа
занимает определённое место – позицию.
– Что это значит – определённое место? –
решил спросить Саша.
– Перед вами три трёхзначных числа, –
продолжил Электроша. – Посмотрите: в их записи
участвуют одни и те же цифры.
– Но ведь сами числа же различны, – возразил
Паша. – В них цифры стоят на разных местах.
– Ты
правильно заметил, Паша, –
сказал Электроша. – В записи числа важно то, какую
позицию занимает цифра, то есть на каком месте она стоит.
Место, на котором стоит цифра в записи числа,
по-другому называют разрядом числа. Одна и та же цифра в записи
числа может иметь разные значения в зависимости от того, в каком разряде она
стоит.
– Да, да, я вспомнил, – радостно сказал Паша,
– нам в школе рассказывали. Вот если взять, например, число 358, то у него
цифра 8 относится к разряду единиц, цифра 5 – к разряду десятков, а вот цифра 3
– к разряду сотен.
– Всё правильно, Паша! – подбодрил мальчика Электроша. Самый младший разряд – разряд единиц. Им
заканчивается любое число. С него же начинают отсчитывать разряды.
Обратите внимание: числа читают слева направо,
а разряды отсчитывают наоборот – справа налево. Итак, первый – это разряд
единиц. Следующий за ним разряд – разряд десятков. Сделав ещё шаг
влево от десятков, получаем разряд сотен.
Если в числе отсутствует какой-либо разряд,
то в записи числа на его месте будет стоять цифра 0 и при чтении числа данный
разряд не называют.
– Мы с Сашей хотели прочитать число, которое
у него получилось, – перебил Паша. – Посмотри, какое большущее число у него
вышло.
– Ребята,
прочитать это число совсем не сложно, – сказал Электроша. – Сейчас я вам покажу,
как это сделать.
Итак, чтобы прочитать многозначное число,
цифры его записи нужно мысленно разбить справа налево на группы по три цифры в
каждой, при этом крайняя слева группа цифр может состоять необязательно только
из трёх цифр, в ней могут быть две, как в нашем числе, или даже одна цифра. Эти
группы называют классами.
– Классами? – уточнил Саша. Ты ничего не
путаешь, Электроша? В классах учатся в школе. Числа
же не учатся в школе.
– Именно классами! – улыбнулся Электроша. – Многозначные числа разбивают на классы для
удобства их чтения и записи. Единицы, десятки, сотни образуют первый класс – класс
единиц. Следующие три цифры числа образуют соответственно разряды: единицы
тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч. Единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч
образуют второй класс – класс тысяч. Если мы продвинемся ещё дальше
влево, то обнаружим ещё три разряда: единицы миллионов, десятки миллионов и
сотни миллионов. Единицы миллионов, десятки миллионов, сотни миллионов образуют
третий класс – класс миллионов. Следующие три цифры числа образуют
соответственно разряды: единицы миллиардов, десятки миллиардов и сотни
миллиардов, а вместе они составляют четвёртый класс – класс миллиардов.
– Нет, Саша! – перебил мальчика Электроша. – Ты не до конца понял.
При чтении многозначного числа число,
записанное в каждом классе, читают как трёхзначное, двузначное или однозначное,
добавляя при этом название класса. Только вот название класса единиц, как
правило, не произносят.
– А, понятно, – обрадовался Саша. – Значит, в
моём числе 20 миллиардов?
– Правильно! – сказал Электроша. – Может, ты сможешь назвать всё число?
– Я попробую, – ответил Саша. – Моё число, –
продолжил он, – можно прочитать так: 20 миллиардов 172 миллиона 17 тысяч 201.
– Всё правильно, Саша! – сказал Электроша. – С чтением многозначного числа ты справился на
отлично. Ещё вам с Пашей полезно будет узнать, как правильно записывать
многозначные числа.
Чтобы записать многозначное число, вам
пригодятся следующие правила:
Многозначные числа записывают слева
направо и начинают со старшего разряда.
Во всех классах, кроме старшего, должно
быть по три цифры.
Для удобства чтения между классами можно
оставить небольшой промежуток.
Если отсутствуют единицы какого-либо
разряда, вместо них пишут нули.
Если отсутствует целый класс, то вместо
него пишут три нуля.
– Ребята, давайте вы попробуете сами записать
многозначное число! – предложил Электроша. – Слушайте
внимательно число: двадцать три миллиона пять тысяч двадцать три.
– Какие вы молодцы! – обрадовался за ребят Электроша. – Всё правильно написали!
А ещё вот что вам нужно знать, – продолжил
он. – Запись натуральных чисел, которой мы пользуемся, называют десятичной. Такое название связано с тем, что 10 – это основа десятичной нумерации. Самое
главное для вас сейчас – это понять, что десять единиц одного разряда образуют
одну единицу следующего за ним разряда. Например, 10 единиц составляют 1 десяток,
в свою очередь, 10 десятков – 1 сотню и так далее.
Числа 10, 100, 1000 и так далее называют разрядными
единицами.
Зная это, вы сможете любое натуральное число
представить в виде суммы разрядных слагаемых. К примеру, возьмём число 8 543. Его можно записать суммой разрядных слагаемых так:
8 543 = 8 000 + 500 + 40 + 3.
Или вот так: 8 543 = 8 · 1 000 + 5
· 100 + 4 · 10 + 3.
Последнее равенство называют записью числа 8 543
в виде суммы разрядных слагаемых.
– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы
всё поняли и выполним несколько заданий.
Задание первое: прочитайте число.
Решение: мысленно делим наше число на группы
по три цифры начиная справа. Три первых цифры составляют класс единиц, три
следующих – класс тысяч, ещё три следом – класс миллионов и последние – класс
миллиардов. Видим, что в классе миллионов и классе тысяч стоят нули, значит, в
этих классах отсутствуют единицы в разрядах. Тогда указанное число – пятьдесят
миллиардов триста.
Следующее задание: запишите цифрами число
пять миллионов одиннадцать тысяч шестьсот один.
Решение: число пишем слева направо. Старший
класс в нашем числе – миллионы, и их пять, значит, записываем цифру 5. Следующий класс – тысячи. Сказано, что в числе их одиннадцать, значит,
отсутствует разряд сотен и вместо него мы запишем цифру 0. За ней ставим 11. И
последний класс в этом числе – класс единиц, их 601, разряд десятков отсутствует,
на его месте ставим цифру 0.
И последнее задание: запишите число 7 506 в
виде суммы разрядных слагаемых.
Решение: у нас в числе семь тысяч, значит,
пишем
1) Обучающая: формировать представление о роли разрядов и классов в записи натурального числа и навык представления натурального числа в виде суммы разрядных слагаемых, познакомить с нумерацией разрядов и их названиями, а также с названиями классов в записи натурального числа, создать условия для совершенствования навыка чтения и записи натуральных чисел.
2) Развивающая: содействовать развитию внимания, памяти, мышления.
3) Воспитывающая: воспитать интерес к предмету математика, любознательность, наблюдательность.
Организационный этап.
Здравствуйте. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы узнать, как вы настроены к работе на уроке.
Актуализация опорных знаний:
На доске записано число (например, 789 540).
— Прочитайте число. Назовите, пожалуйста, цифру, которая показывает количество единиц числа, а цифру, которая показывает количество десятков. А количество сотен, какая цифра показывает? Молодцы!
Хотелось бы напомнить, что в позиционной системе счисления позиция (место) цифры означает число.
Откройте тетради и запишите число и тему нашего урока.
Этап получения знаний:
https://youtube.com/watch?v=ZFqk_bUO93M%3Frel%3D0
Сегодня на уроке мы поговорим о разрядах и классах в записи числа. Узнаем такие понятия как разряд числа, разрядные единицы, разрядные слагаемые, рассмотрим классификацию классов в записи числа, а также научимся правильно читать натуральные числа.
Мы уже знаем, что натуральные числа — это числа, которые используют при счёте. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр.
Способ записи чисел, которым мы пользуемся, называется десятичной позиционной системой счисления. Значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Кроме натуральных чисел мы знаем еще число 0 (нуль). При счёте число 0 (нуль) не используется, а означает оно «ни одного». Поэтому число 0 не является натуральным!
Если запись натурального числа состоит из одного знака – одной
цифры, то его называют однозначным.
Например, числа 1, 3, 7 – однозначные.
Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр (различных или одинаковых), то его называют двузначным.
числа 23, 58, 66 — двузначные, точно также можно сказать и о трехзначных числах, четырехзначных и т.
числа 321, 555, 878 — трехзначные,
числа 2100, 5350, 9999 — четырехзначные
Многозначные натуральные числа — это натуральные числа, запись которых состоит из двух или трех или четырех и т. знаков. Говоря на математическом языке, многозначные натуральные числа — это двузначные, трехзначные, четырехзначные и т. числа.
Первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда (в данном числе это цифра 3), вторая цифра, которая стоит следующей слева от первой цифры – называется цифрой второго разряда (в записанном числе это цифра 6), третья цифра — называется цифрой третьего разряда (здесь это цифра 5). Первый разряд называют также разрядом единиц, второй разряд — разрядом десятков, третий разряд — разрядом сотен и т.
Возьмем, например число 505. Здесь цифра 5 повторяется. Одна цифра 5 стоит в первом разряде, это значит, что в числе 5 единиц, вторая цифра 5 стоит в третьем разряде и обозначает, что в числе 5 сотен. Цифра 0 в числе 505 обозначает, что в числе отсутствует разряд десятков.
Рассмотрим число 8503. Оно состоит из 8 — ми тысяч, 5 — ти сотен, 0 десятков и 3 — ех единиц. его можно записать следующим образом:
8503 = 8000 + 500 + 0 + 3
Числа 8000, 500, 0 и 3 называются разрядными слагаемыми числа 8503.
Числа 1, 10, 100 и т. называются разрядными единицами:
1 — единица первого разряда — разряда единиц,
10 — единица второго разряда — разряда десятков,
100 — единица третьего разряда — разряда сотен и т. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых.
Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда. Например, 10 единиц образуют 1 десяток, а 10 десятков образуют 1 сотню. Посмотрим это на рисунке: мы видим 1 шарик — обозначим его как 1 единицу, если соединить 10 шариков — то они уже образуют 1 десяток, а 10 десятков шариков уже составят 1 сотню.
Вернемся к числу 8503. Мы уже записывали его суммой разрядных слагаемых, у нас было записано:
8503=8000 + 500 + 0 + 3
А теперь запишем числа 8000, 500, 0 и 3 с помощью разрядных единиц. Получим:
8503 = 8*1000 + 5*100 + 0*10 + 3*1 (проговорить, *- умножение)
Первая цифра слева в записи натурального числа называется цифрой высшего разряда. Так как запись натурального числа не может начинаться с нуля, то цифра высшего разряда всегда отлична от нуля.
В записи числа разряды, начиная справа, группируются в классы по три разряда в каждом. Класс единиц, класс тысяч, класс миллионов. Есть названия и для следующих классов — миллиарды, триллионы, квадрильоны и т.
Класс единиц или первый класс — это класс, который образуют первые три разряда (справа от конца числа): разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен.
Например, числа 6, 34, 148. Все цифры в записи данных чисел стоят в классе единиц.
Класс тысяч или второй класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.
Например, числа 5234, 12 803, 356 149. Три цифры справа в этих числах стоят в классе единиц, а остальные — в классе тысяч.
Класс миллионов или третий класс — это класс, который образуют следующие три разряда: единицы миллионов, десятки миллионов и сотни миллионов.
Например, число 289 350 140. Первая тройка цифр, стоят в классе единиц, вторая тройка цифр — в классе тысяч, третья тройка цифр стоит в классе миллионов.
Чтобы прочитать многозначное число, мы должны разбить его на классы и затем назвать слева направо количество единиц каждого класса, добавляя название классов. Если в каком — либо из классов стоят 3 нуля, то единицы и название этого класса не произносят.
Например, прочитаем число 134 590 720. Для этого поставим цифры числа в таблицу с соответствующим им разрядом и классом. Цифра 0 относится к разряду единиц, 2 — к разряду десятков, 7 — к разряду сотен, цифра 0 относится к разряду единиц тысяч, 9 — к десяткам тысяч, 5 — к сотням тысяч. Дальше цифра 4, она относится к разряду единиц миллионов, 3 — к десяткам миллионов и цифра 1 относится к разряду сотен миллионов. Теперь прочитаем число: сто тридцать четыре миллиона пятьсот девяносто тысяч семьсот двадцать.
Аналогично попробуем прочитать число 418 000 547. Занесем цифры в табличку. 7 — разряд единиц, 4 — разряд десятков, 5 — разряд сотен. Дальше следуют 3 нуля, они соответственно относятся к разрядам единиц, десятков, сотен класса тысяч. Затем идет цифра 8, она относится к разряду единиц миллионов, 1 — к разряду десятков миллионов и цифра 4 относится к разряду сотен миллионов. Читаем число: «четыреста восемнадцать миллионов пятьсот сорок семь». Класс тысяч не назвали, так как там стоят три нуля.
Этап обобщения и закрепления нового материала.
Итак, сделаем основные выводы:
Сегодня на уроке мы узнали, что разряд числа — это позиция (место), на которой стоит цифра в записи натурального числа. Научились расписывать числа с помощью разрядных слагаемых. Рассмотрели, какие классы числа существуют, а также научились правильно читать натуральные числа.
Для закрепления материала ответьте на вопросы:
Какие числа называют однозначными, двузначными, трехзначными? Назовите разряды класса тысяч. Назовите первые пять классов в записи натуральных чисел. Как читают многозначные числа?
Хотелось бы узнать, понравился ли вам урок? Что было не понятным на уроке? Что еще бы вы хотели узнать?
На этом уроке мы узнаем, что называют разрядом числа,
разрядными единицами, разрядными слагаемыми. Поговорим о классах числа. А также
обсудим, как правильно читать числа.
Мы знаем, что натуральные
числа – это числа, которые используют при счёте.
Способ записи чисел,
которым мы пользуемся, называется десятичной позиционной системой
счисления.
Кроме натуральных чисел
мы знаем ещё число 0 (нуль). При счёте число 0 (нуль) не используется, а означает оно «ни
одного». Поэтому число 0 не является натуральным!
Например, числа 1, 3, 7 — однозначные. Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр
(различных или одинаковых), то его называют двузначным. Числа 23, 58, 66 — двузначные.
Точно так же можно сказать и о трёхзначных числах,
четырёхзначных и т. Числа 321, 555, 878 — трёхзначные. Числа 2100, 5350, 9999 — четырёхзначные и т.
Многозначные натуральные числа – это натуральные числа, запись
которых состоит из 2, или 3, или 4 и т. знаков.
Говоря на математическом языке, многозначные натуральные числа – это
двузначные, трёхзначные, четырёхзначные и т. числа.
Позиция (место), на которой стоит цифра в записи
натурального числа, называется разрядом.
Разряды называют начиная с конца числа, т. справа
налево.
Первая цифра справа в записи числа называется цифрой
первого разряда. В данном числе это цифра 3. Вторая цифра, которая стоит следующей слева от первой цифры, называется цифрой
второго разряда. В записанном числе это цифра 6. Третья цифра называется цифрой третьего разряда. Здесь это цифра 5.
Первый разряд называют также разрядом единиц,
второй разряд – разрядом десятков, третий разряд – разрядом
сотен и т.
Здесь цифра 5 повторяется. Одна цифра 5 стоит в первом разряде. Это
значит, что в числе 5 единиц. Вторая цифра 5
стоит в третьем разряде и обозначает, что в числе 5
сотен. Цифра 0 в числе 505 обозначает, что в числе отсутствует разряд
десятков.
Оно состоит из 8 тысяч, 5 сотен, 0 десятков и 3
единиц. его можно записать следующим образом:
8503 = 8000
+ 500 + 0
+ 3
Числа 8000, 500, 0 и 3 называются разрядными слагаемыми числа 8503.
1 – единица первого
разряда – разряда единиц,
10 – единица второго
разряда – разряда десятков,
100 – единица третьего
разряда – разряда сотен и т. С их помощью натуральное число записывается в
виде разрядных слагаемых.
Каждые 10 единиц
любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда. Например, 10 единиц образуют 1
десяток. 10 десятков образуют 1 сотню.
Посмотрим это на рисунке:
Мы видим 1 шарик,
обозначим его как 1 единицу. Если соединить 10 шариков, то они уже образуют 1 десяток.
10 десятков шариков, в свою
очередь, уже составят 1 сотню.
Вернёмся к числу 8503. Мы уже записывали его суммой разрядных слагаемых, у нас было записано:
А теперь запишем числа 8000,
500, 0 и 3 с помощью разрядных единиц.
Первая цифра слева в записи натурального числа
называется цифрой высшего разряда.
Так как запись натурального числа не может начинаться
с 0 (нуля), то цифра высшего разряда
всегда отлична от 0 (нуля).
В
записи числа разряды, начиная справа, группируются в классы по три разряда в
каждом.
Класс
единиц, или первый класс, – это класс,
который образуют первые три разряда (справа от конца числа): разряд единиц, разряд десятков и
разряд сотен.
Рассмотрим
числа 6, 34, 148.
Все
цифры в записи данных чисел стоят в классе единиц.
Класс
тысяч, или второй класс, – это
класс, который образуют следующие три разряда: единицы тысяч, десятки
тысяч и сотни тысяч.
Рассмотрим
числа 5234, 12803, 356149.
Три
цифры справа в этих числах стоят в классе единиц, а остальные – в классе тысяч.
Класс миллионов, или третий класс, – это
класс, который образуют следующие три разряда: единицы миллионов, десятки
миллионов и сотни миллионов.
Рассмотрим
число 289 350
140.
Первая
тройка цифр стоит в классе единиц, вторая тройка цифр – в классе тысяч, третья
тройка цифр стоит в классе миллионов.
Чтобы
прочитать многозначное число, мы должны разбить его на классы и затем назвать
слева направо количество единиц каждого класса, добавляя название классов. Если
в каком-либо из классов стоят 3 нуля, то единицы и название этого класса не
произносят.
Например, прочитаем число 134 590 720.
Для
этого поставим цифры числа в таблицу с соответствующим им разрядом и классом.
Цифра
0 относится к разряду
единиц, 2 – к разряду десятков, 7 – к разряду сотен, цифра
0 относится к разряду
единиц тысяч, 9 – к десяткам тысяч, 5 – к сотням тысяч. Дальше
цифра 4, она относится к разряду
единиц миллионов, 3 – к десяткам миллионов, и цифра 1 относится к разряду сотен миллионов.
Теперь
прочитаем число: «Сто тридцать четыре миллиона пятьсот девяносто тысяч
семьсот двадцать».
Аналогично
попробуем прочитать число 418 000 547. Занесём цифры в табличку.
Цифра 7 – разряд единиц, 4 – разряд десятков, 5 – разряд сотен. Дальше
следуют три нуля, они, соответственно, относятся к разрядам единиц, десятков,
сотен класса тысяч.
Прочитаем
число: «Четыреста восемнадцать миллионов пятьсот сорок семь». Затем идёт цифра
8, она относится к разряду единиц миллионов, 1 – к разряду десятков миллионов,
и цифра 4 относится к разряду сотен миллионов. Читаем число «Четыреста
восемнадцать миллионов пятьсот сорок семь». Класс тысяч не назвали, так как
там стоят три нуля.
Итак, на уроке мы узнали такие понятия, как разряд
числа, разрядные единицы, разрядные слагаемые, классы числа, а также научились
правильно читать натуральные числа.
« Юные Ломоносовы»
Как появились цифры
Выполнена учеником 4 класса
МБОУ «Иртовской ОО школы»
Ленского района, Архангельской области
Жебуртович Сергеем Александровичем
Научный руководитель – учитель математики
Иртовской МОО школы Ленского района
Вяткина Ольга Владимировна.
Ирта, 2012г.
Вокруг нас много интересных вещей, к которым мы привыкли и поэтому не обращаем на них внимание. Хотя каждая обычная вещь хранит в себе свои загадки, на которые мы часто не знаем ответа. На одну такую загадку я и решил найти ответ.
Когда мы в первом классе стали изучать цифры, мне стало интересно, почему они так выглядят и кто их придумал?
Учительница называла цифры «арабскими», а кто их так назвал и почему? Есть ли еще какие-то цифры? Оказывается, есть, например, в Риме была римская, а на Руси славянская нумерации. Ими пользовались долгое время. Почему же арабские цифры смогли вытеснить другие и стали самыми «популярными» в мире? Почему римской нумерацией мы пользуемся очень редко, а другие совсем исчезли? На эти и другие вопросы я попробую ответить в своей работе.
Я решил в своей работе узнать историю появления и написания арабских цифр, а также ответить на вопросы:
– что такое цифра;
– как люди считали, пока не было цифр;
– кто придумал арабские цифры;
– как менялись цифры.
Я спросил у ребят школы, что они знают про цифры, которыми пользуются каждый день, а потом ответил на эти же вопросы в своей работе.
В опросе приняли участие 20 учащихся со 2 по 6 класс. Были заданы следующие вопросы:
римские б). арабские в). русские г). не знаю
- Как люди считали в древние времена?
- В каком государстве были придуманы арабские цифры?
В Индии б). в Арабии в). в Египте г). не знаю
Почему цифры имеют такой внешний вид?
по количеству линий б). по количеству углов
ни с чем не связано г). не знаю
Как считали в древности
На данный вопрос 90% (18 человек) опрошенных ответили верно, 10% (2 человека) ответили «не знаю». А как же действительно раньше считали?
Первобытные люди ещё не знали цифр, но считать умели. Как? А очень просто — на пальцах. Пальцы были первыми изображениями чисел и первым «калькулятором». Надо, например, прибавить к пяти три— загнул 5 пальцев на одной руке, 3 на другой. Загнул пальцы, значит, произвел сложение, разогнул — вычитание. Ну, а если уж пальцев на руке не хватает, можно использовать пальцы на ногах. Поэтому, как считают многие ученые, современный человек и считает десятками.
Потом вместо пальцев для счёта начали использовать узелки на веревке, зарубки на палочках или сами палочки. А ещё считали с помощью камешек: какое число, столько и камешек. Но показать , например, одну тысячу или миллион с помощью камешек трудно, и люди придумали обозначать числа определёнными знаками: черточками, точками, галочками. Так появились первые цифры.
Самые первые цифры появились у египтян и вавилонян. У других народов (древние греки, финикияне, евреи, сирийцы) цифрами служили буквы алфавита. Например, у славян буква А означала число «один» (Б не имело числового значения), В — два, Г — три, Д — четыре и т.
История происхождения арабских чисел
Приведем ответы на вопросы:
Как называются цифры, которыми мы пользуемся на математике?
Римские- 10% (2 чел. ) Арабские-65 % (13 чел
Русские- 5 % (1 чел. ) Не знаю-15 % (3 чел
В каком государстве были придуманы арабские цифры?
В Арабии- 30%(6 чел
В Египте- 15% (3 чел
История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя сказать точно и достоверно как они произошли. Одно точно известно, что благодаря древним астрономам и их точным расчетам мы и имеем наши числа. Между II и VI веками н. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Получается что родина арабских цифр- южная Индия, так как они встречаются во множестве индийских документов, хотя не исключено, что сама система счисления заимствовала кое-что из древнего Вавилона. Но это точно не известно: возможно, что вся система – целиком индийское изобретение, а предшественником ее были обычные счеты.
В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна ( примерно в V веке). В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке – санскрите, использующем алфавит “Деванагари” (рис
Рис. 1 Ранние Давангари
Впервые эту индийскую систему записи использовал в 8 – 9 веке арабский учёный Мухаммед ибн Муса аль- Хорезми (Рис. Он упростил и обосновал систему начертания цифр.
Для обозначения 1, 2, 3, 4. он ввел соответствующее количество углов. В этих угловатых цифрах можно уже узнать знакомые нам цифры, четверка, например, обозначалась крестом.
Рис. 2 Мухаммед аль- Хорезми
Символы же для остальных цифр были разработаны на основе абаки (счет). 5 обозначалась кружочком под чертой, 6 и 7 – кружок под чертой и знаки для 1 или двух, пририсованные сверху.
10 обозначалось кружком над чертой, а для 8 и 9 снизу пририсовывались знаки для 2 и 1 (т. 8 – это 10 – 2). Соответственно, 10 в этом написании выглядело, как современное 10, перевернутое на 90 градусов против часовой стрелки.
Рис. 3 Эволюция индийских цифр.
В арабских же странах начертание цифр тоже менялось, но независимо от европейских стран. Вот почему сегодня мы пользуемся разными символами.
Приведем ответы на вопрос: почему цифры имеют такой внешний вид?
По количеству линий-20% (4 чел
По количеству углов-15% (3 чел
Ни с чем не связано- 25% (5 чел
Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.
Написание арабских цифр состояло из отрезков прямых линий, где количество углов соответствовало величине знака. Вероятно, кто-то из арабских математиков когда-то предложил идею – связать числовое значение цифры с количеством углов в ее Рис. 4 Количество углов в цифрах.
написании. Посмотрим на арабские цифры и видим, что
1 – содержит один острый угол.
2 – содержит два острых угла.
3 – содержит три острых угла
4 – содержит три острых угла и один прямой
5 – содержит пять прямых углов
6 – содержит 6 прямых углов.
7 – содержит семь прямых и острых углов (правильное написании, арабское, написание цифры 7 отличается от приведенного на рисунке 4 наличием дефиса, пересекающего под прямым углом вертикальную линию посередине (вспомним, как мы пишем цифру 7), что дает 4 прямых угла и 3 угла дает еще верхняя ломаная линия)
8 – содержит восемь острых и тупых углов.
9 – содержит 9 прямых углов (именно этим объясняется столь замысловатый нижний хвостик у девятки, который должен был достроить 1 угол, чтобы общее их число стало равно 9.
Вначале индийских цифр было всего девять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. В старых вавилонских текстах, датируемых 1700 годом до нашей эры, не встречается специального знака, обозначающего ноль, для его обозначения просто оставляли пустое место, более или менее выделенное. Цифра 0 появилась намного позже, – скорее всего, около 500 года нашей эры. А сначала, если оказывалось, что в каком-то разряде нет единиц, то между соседними разрядами оставляли пробел. Например, число 209 писали так: 2 9. Понятно, что при счете очень легко ошибиться. Чтобы не ошибиться, сначала вместо пустого разряда стали ставить точку, а потом – маленький кружочек, который постепенно превратился в цифру 0.
Есть еще одно мнение об истории написания арабских цифр. Некоторые ученые считают, что эти цифры произошли от счета по пальцам. Цифру “1” писали так же, как и сейчас, палочкой, цифру “2” – двумя палочками, только не стоячими, а лежачими. Когда эти две палочки быстро писали одну под другой, их соединяли косой черточкой, как мы соединяем буквы в слова. Вот и получился значок, напоминающий нашу теперешнюю двойку. Тройка получалась при скорописи из трех палочек, лежащих одна под другой. В пятерке можно узнать кулак с отставленным пальцем, даже само слово “пять” происходит от слова “пясть” – кисть руки.
А как же появилось само слово «цифра»? Кстати, слово «цифра» тоже арабское. Слово “цифра” (по-арабски “сыфр”), переводится буквально “пустое место” (перевод санскритского слова “сунья”, имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин “нуль” (nullum – ничто). Изобретение нуля считается одним из важнейших математических открытий. При новом способе записи чисел значение каждой написанной цифры стало прямо зависеть от нее.
Закончив свою работу, хочу подвести итоги: оказывается цифры, которыми мы пользуемся в обычной жизни, правильнее называть индийскими, а не арабскими. И написанием их мы обязаны знаменитому индийскому математику Мухаммеду аль- Хорезми. Эти цифры мы используем в своей жизни каждый день и не думаем, что раньше люди могли считать как-то по другому, например, на пальцах или с помощью камешков, или что цифры можно записать буквами из алфавита.
Способ, придуманный индийцами и принесённый в мир арабами, был более удобный и экономичный. Со временем углы сгладились, и цифры приобрели привычный нам вид. Этими простыми с виду десятью значками можно легко выразить огромные значения. Поэтому арабские цифры смогли со временем стать самыми распространёнными в мире.
Исследование показало, что учащиеся школы мало знают про цифры. Думаю, что моя работа будет интересна и познавательна для всех учеников,
а на уроках учителям нужно больше рассказывать про историю математики.