Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока, три яблока и т. д.)
Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа
найдётся натуральное число, большее чем
. Натуральные числа ещё можно называть целыми положительными числами. Поэтому отрицательные и нецелые (дробные) числа к натуральным не относятся.
Свойства натуральных чисел и операций с ними изучают арифметика и (более углублённо) теория чисел .
Самый примитивный способ представления натурального числа — ставить метку при учёте каждого объекта. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток — вычеркнув отметку и удалив объект из набора.
В противовес натуралистам конструктивисты видели необходимость совершенствовать логическую основу в основах математики. В 1860-х годах Герман Грассманн предложил рекурсивное определение натуральных чисел, таким образом заявив, что они не совсем естественные, а являются следствием определений. Далее было построены два класса таких формальных определений; позднее было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.
Существуют два подхода к определению натуральных чисел:
числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов: первый , второй , третий , четвёртый , пятый …;
числа, возникающие при обозначении количества предметов: 0 предметов , 1 предмет , 2 предмета , 3 предмета , 4 предмета , 5 предметов …
Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел
Аксиомы Пеано для натуральных чисел
Множество
будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция
c областью определения
, называемая функцией следования (
), и выполнены следующие условия:
элемент единица принадлежит этому множеству (
), то есть является натуральным числом;
число, следующее за натуральным, также является натуральным (если
, то
или, в более короткой записи,
);
единица не следует ни за каким натуральным числом (
);
если натуральное число
непосредственно следует как за натуральным числом
, так и за натуральным числом
, то
и
— это одно и то же число (если
и
, то
);
( аксиома индукции ) если какое-либо предложение (высказывание)
доказано для натурального числа
( база индукции ) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа
, вытекает, что оно верно для следующего за
натурального числа ( индукционное предположение ), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть
— некоторый одноместный (унарный) предикат , параметром которого является натуральное число
. Тогда, если <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdf0a9cc2b05be736085c7422ebe1d8d019329a" aria-hidden="true" alt="P“>
и
, то
).
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии .
Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве
какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.
Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом
образует моноид . Как уже упоминалось выше , в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.
Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)
Положение натуральных чисел в иерархии числовых множеств
Согласно теории множеств , единственным объектом конструирования любых математических систем является множество .
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
Числа, заданные таким образом, называются ординальными .
Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:
Операции над натуральными числами
К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:
Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):
Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.
Коммутативность умножения:
Ассоциативность умножения:
Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0 . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1 . С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел
и рациональных положительных чисел
соответственно.
Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.
При помощи разложения функции в ряд можно показать, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12 [19]
.
Выгодский М. Я.
Справочник по элементарной математике . — М. : Наука, 1978.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И.
Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 591 с.
Eves, Howard (1990), An Introduction to the History of Mathematics
(6th ed.), Thomson, ISBN 978-0-03-029558-4
Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory
, Springer Science & Business Media, ISBN 978-0-387-90092-6
Hamilton, A. G. (1988), Logic for Mathematicians
(Revised ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36865-0
James, Robert C. & James, Glenn (1992), Mathematics Dictionary
(Fifth ed.), Chapman & Hall, ISBN 978-0-412-99041-0
Landau, Edmund (1966), Foundations of Analysis
(Third ed.), Chelsea Pub Co, ISBN 978-0-8218-2693-5
Mac Lane, Saunders & Birkhoff, Garrett (1999), Algebra
(3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1646-2
Mendelson, Elliott (2008), Number Systems and the Foundations of Analysis
, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45792-5
Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures
(Second ed.), Mcgraw-Hill College, ISBN 978-0-07-043043-3
Musser, Gary L.; Peterson, Blake E. & Burger, William F. (2013), Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach
(10th ed.), Wiley Global Education , ISBN 978-1-118-45744-3
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Natural number , Encyclopedia of Mathematics
, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Szczepanski, Amy F. & Kositsky, Andrew P. (2008), The Complete Idiot’s Guide to Pre-algebra
, Penguin Group, ISBN 978-1-59257-772-9
Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B. & Bruckner, Andrew M. (2008), Elementary Real Analysis
(Second ed.), ClassicalRealAnalysis.com, ISBN 978-1-4348-4367-8
2020 – 08 – 05 20:40:00
Какие мы знаем цифры? Римские и арабские. Римские – крестики, палочки, галочки. Числа из них получаются громоздкие, трудно читаемые. Поэтому в итоге победили арабские со своей десятичностью. Многие ездят по свету и наверняка обращали, что в арабских странах цифирки выглядят немного по-другому. Позвольте, а чем же тогда пользуются сами арабы? Вы видели у них цифры, которыми сами пользуетесь? Вот и я задумался. ” Настоящие” арабские цифры выглядят так (верхняя строчка)
Там, конечно, тоже есть свою нюансы – восточные арабские, западные арабские, персидские. Но отличаются они по мелочам.
На самом деле “арабские цифры” – это бывшие индийские цифры. А называются арабскими потому, что пришли они в Европу через арабов.
Что интересно, эти старые индийские цифры трансформировались в трёх направлениях, и в результате получились европейские, собственно арабские и “другие” индийские.
В Индии, сами понимаете, тоже есть разные варианты написания.
О заблуждениях. Часть 10, фиалки
О заблуждениях. Часть 9, песенно-орнитологическая
О Заблуждениях. Часть 8, зайцы против морковки/капусты.
О заблуждениях. Часть 6, гурман
О заблуждениях. Часть 5, герань.
О заблуждениях. Часть 4, мимоза
О заблуждениях. Часть 3, жасмин.
О заблуждениях. Часть 2, сморчки-строчки
О заблуждениях. Часть 1, клубника – земляника.
О заблуждениях. Часть 10, фиалки
О заблуждениях. Часть 9, песенно-орнитологическая
О Заблуждениях. Часть 8, зайцы против морковки/капусты.
О заблуждениях. Часть 6, гурман
О заблуждениях. Часть 5, герань.
О заблуждениях. Часть 4, мимоза
О заблуждениях. Часть 3, жасмин.
О заблуждениях. Часть 2, сморчки-строчки
О заблуждениях. Часть 1, клубника – земляника.
Запрос «Цифра» перенаправляется сюда; см. также другие значения .
Цифры числовой системы майя с западными арабскими эквивалентами
Ци́фры (от ср.-лат. cifra от араб. ( ṣifr ) «пустой, нуль») — система знаков для записи конкретных значений чисел . Цифрами называют только такие знаки, которые сами в отдельности описывают определённые числа (так например, знак минуса − или десятичной запятой , хоть и используются для записи чисел, но цифрами не являются). Слово «цифра» в данной статье без уточнения обычно означает один из следующих десяти знаков (т. н. « арабские цифры »):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Существуют также много других систем записи чисел:
римские цифры : I V X L C D M
шестнадцатеричные цифры : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
цифры майя : от 0 до 19
в некоторых языках, например, в церковнославянском , древнегреческом , иврите и др., существует система записи чисел буквами
Во множественном числе в обиходной речи слово цифры также может обозначать «числовые данные», так как любое число записывается набором цифр. Например, выражение «приведём такие „цифры“» на самом деле говорит о числах, и даже когда речь идёт об одном числовом данном, записанном одной цифрой, следует употреблять множественное число. Однако неверно говорить «здесь цифры больше», так как сравниваются не цифры, а числа.
Само слово цифра происходит от арабского صفر ( ṣifr ) «ничего, ноль» и в современном русском языке пишется через букву «и», в отличие от слов-исключений: цыган , цыплёнок , цыпочки и др .
В древнейшие времена числа обозначались прямолинейными пометками («палочками»); одна палочка изображала единицу, две палочки — двойку и т. д. Этот способ записи происходит от зарубок. Он и поныне сохранился в «римских цифрах» для изображения чисел 1, 2, 3. Индийское происхождение «арабских цифр» было признано в науке лишь в XIX веке. Первым учёным, высказавшим эту, для того времени новую, мысль, был русский востоковед Георгий Яковлевич Кер (1692—1740). Кер с 1731 года служил в Москве переводчиком коллегии иностранных дел.
Национальные варианты арабско-индийских десятичных цифр
А — западные арабские, Б — восточные арабские , В — персидские, Г — деванагари , Д — бенгальские , Е — гурмукхи , Ж — гуджарати , З — ория , И — тамильские , К — телугу , Л — каннада , М — малаялам , Н — тайские , О — лаосские , П — тибетские , Р — бирманские , С — кхмерские , Т — монгольские , У — лимбу, Ф — новые тай лы, Х — яванские
Использование на монетах
На монетах в Европе индийские цифры впервые появляются в 976 году в Испании, где имелись непосредственные связи с арабами .
Депман И. Я. История арифметики. — М. : Просвещение, 1965. — С. 93.
«Монеты России 1700—1917» Узденников В. В.
У этого термина существуют и другие значения, см. Цифра (значения) .
Арабские цифры (шрифт без засечек)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Халифат Аббасидов — территория распространения индо-арабских и персидских цифр.
Халифат Альмохадов — территория, откуда арабские цифры попали в Европу.
Первое обнаруженное появление нуля — IX век, Индия
1) «Современные цифры» — обычные арабские цифры. « Арабские цифры» — индо-арабские и персидские цифры. Цифры 4, 5 и 6 существуют в двух вариантах, слева — индо-арабский, справа — персидский. « Индийские цифры» — цифры деванагари современной Индии.
Преимущества индо-арабских цифр Индийская запись чисел компактнее римской и позволяет быстро сравнивать разные числа по величине.
При расчётах на
абаке
можно одновременно записывать числа и проводить расчёты.
Вычисления стало возможно проводить без абака, на бумаге. Появились новые, более простые методы умножения и деления, специально рассчитанные на индоарабские цифры.
Вычислительная математика и математика вообще получили мощный импульс к развитию. Например, трудно представить изобретение логарифмов без индоарабских цифр.
Благодаря им появилась возможность создания
счётных машин
.
Современная арабская телефонная клавиатура с двумя формами арабских цифр: западные арабские/европейские цифры слева и восточно-арабские цифры справа
Заимствование индийских цифр через арабов по Европе
Гравюра на дереве, показывающая астрономические часы
XVI века
Упсальского собора , с двумя видами часов, одни с арабским и другие с римскими цифрами.
На немецкой странице рукописи, использующей арабские цифры ( Talhoffer Thott, 1459). В это время знание цифр всё ещё широко рассматривалось как эзотерическое, и Тальхоффер представляет еврейский алфавит и астрологию
.
Французский революционный «десятичный» циферблат XVIII века.
Железная плита с магическим квадратом 6×6 на персидском / арабском языке из Китая, датированная династией Юань (1271-1368).
// Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1985. — Т. 5. — С. 826—827.
Андронов И. К. Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами. — Учпедгиз, 1959. — С. 28—30. — 361 с.
Истрин В. А. Развитие письма / Ред. Вентцель Т. В. — М. : АН СССР, 1961. — С. 330—331 .
История математики, том I, 1970 , с. 182—183.
Меннингер, 2011 , с. 476—477.
J. J. O’Connor and E. F. Robertson. The Arabic numeral system. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Arabic_numerals.html Архивная копия от 16 мая 2017 на Wayback Machine
Florian Cajori. A history of mathematical notations . — 1993. — P. 50. — 385 p. — ISBN 0486677664 .
История математики, том I, 1970 , с. 256—257.
Юшкевич А. П.
История математики в средние века. — М. : Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961. — С. 156, 191, 331.
Меннингер, 2011 , с. 493—494.
Меннингер, 2011 , с. 508—515.
[bse.sci-lib.com/article067055.html «Арабские цифры» в Большой советской энциклопедии]
История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I. — 352 с.
Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М. : ЗАО Центрполиграф, 2011. — 543 с. — ISBN 9785952449787 .
2 мин.
Написание арабских цифр состояло из
отрезков прямых линий , где количество углов соответствовало величине знака. Вероятно, кто-то из арабскихматематиков
когда-то предложил идею — связать числовое значение
цифры
с количеством
углов в ее начертании.
Как выглядели настоящие арабские цифры
Итак, смотрим на оригинальное изображение арабских цифр и видим, что:
0 — цифра без единого угла в начертании;
1 — содержит один острый угол;
2 — уже два острых угла;
3 — здесь три острых угла (правильное, арабское, начертание цифры получается при написании цифры 3 при заполнении почтового индекса на конверте);
4 — тут 4 прямых угла (именно этим объясняется наличие «хвостика» внизу цифры, никак не влияющего на ее узнаваемость и идентификацию);
5 — видим 5 прямых углов (назначение нижнего хвостика — то же самое, что у цифры 4 — достройка последнего угла);
6 — содержит 6 прямых углов;
7 — получается 7 прямых и острых углов (правильное, арабское, написание цифры 7 отличается от приведенного на рисунке наличием дефиса, пересекающего под прямым углом вертикальную линию посередине (вспомним, как мы пишем цифру 7), что дает 4 прямых угла и 3 угла дает еще верхняя ломаная линия);
8 — из 8 прямых углов;
9 — содержит 9 прямых углов (именно этим объясняется столь замысловатый нижний хвостик у девятки, который должен был достроить аж 3 угла, чтобы общее их число стало равно 9.
Начертание арабских цифр происходит от соответственного количества содержащихся в нем углов.
Время сгладило углы в арабских цифрах
Со временем углы сгладились , и цифры приобрели привычный нам вид. Вот уже много столетий весь мир пользуется арабской системой записи чисел. Этими десятью значками можно легко выразить огромные значения.
Кстати, слово «цифра» тоже арабское. Арабские математики перевели индийское слово «сунья» по смыслу на свой язык. Вместо «сунья» они стали говорить «сифр» или «цифр», а это уже знакомое нам слово. Так слово «цифра» по наследству от арабов досталось и нам.
